問題文と図から、直方体の容器にしきりがあり、左側から毎秒50 cm$^3$ の割合で水を入れるとき、水面の高さが6cmから8cmになるまでの $x$ と $y$ の関係を式で表す問題です。ここで、$x$ は水を入れ始めてからの秒数、$y$ は水面の高さ (cm) を表します。

1. 問題の内容

問題文と図から、直方体の容器にしきりがあり、左側から毎秒50 cm$^3$ の割合で水を入れるとき、水面の高さが6cmから8cmになるまでの $x$ と $y$ の関係を式で表す問題です。ここで、$x$ は水を入れ始めてからの秒数、$y$ は水面の高さ (cm) を表します。

2. 解き方の手順

(1) 図より、水面の高さが5cmになるまでは、幅10cm、奥行5cmの部分に水が入ります。

(2) 水面の高さが5cmになったとき、水の体積は $10 \times 5 \times 5 = 250$ cm$^3$ です。

(3) 毎秒50 cm$^3$ の割合で水を入れるので、水面の高さが5cmになるまでの時間は $250 / 50 = 5$ 秒です。つまり、$(x, y) = (5, 5)$ を通ります。

(4) 次に、水面の高さが6cmのときを考えます。高さ5cmまでは、幅10cmのところに水が入りますが、5cm以上になると、幅8cmの部分にも水が入るようになります。水面の高さが6cmになるまでに入った水の体積は、高さ5cmまでの250 cm$^3$ に加えて、幅8cm、奥行5cm、高さ1cmの部分の体積 $8 \times 5 \times 1 = 40$ cm$^3$ が必要です。したがって、合計の体積は $250 + 40 = 290$ cm$^3$ です。かかる時間は $290 / 50 = 5.8$ 秒なので、$(x, y) = (5.8, 6)$ を通ります。

(5) 水面の高さが8cmのときは、高さ5cmまでは250 cm$^3$、高さ6cmまでは290 cm$^3$ でしたので、高さ6cmから8cmまで (つまり2cm) は、幅8cm、奥行5cm、高さ2cmの部分の体積 $8 \times 5 \times 2 = 80$ cm$^3$ が必要です。したがって、合計の体積は $290 + 80 = 370$ cm$^3$ です。かかる時間は $370 / 50 = 7.4$ 秒なので、$(x, y) = (7.4, 8)$ を通ります。

(6) 水面の高さが5cm以上の場合、水が入る部分の面積は $8 \times 5 = 40$ cm$^2$ なので、1秒あたり水面の高さは $50 / (8 \times 5) = 50 / 40 = 1.25$ cm 上昇します。

(7) 高さ6cmのとき、$x = 5.8$ でしたので、$y = 1.25(x - 5.8) + 6$ となります。これを整理すると、$y = 1.25x - 7.25 + 6 = 1.25x - 1.25$ となります。

(8) 一方、グラフから、点(8,8.5)を通ることが読み取れるため、傾きが1.25で(8, 8.5)を通る直線を求めます。$y = 1.25(x-8) + 8.5 = 1.25x - 10 + 8.5 = 1.25x -1.5$ となります。

高さが6cmから8cmになるまでなので、グラフの傾きが変わってからになります。

写真のグラフより、2点(10,5)、(16,8)を通るグラフになるので、直線の式は

$y - 5 = (8-5)/(16-10)(x-10)$

$y - 5 = 3/6(x-10)$

$y = 1/2x - 5 + 5$

$y = 1/2x$

したがって$y = (1/2)x$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x$