ある企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売します。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ であり、財Xを単価6で購入するときの最適購入量 $x$ と最適生産量 $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ある企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売します。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ であり、財Xを単価6で購入するときの最適購入量 $x$ と最適生産量 $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

企業の利潤を最大化する問題を考えます。

利潤は、収入から費用を引いたものです。

収入は、財Yの価格 × 生産量 = $27y$ です。

費用は、財Xの価格 × 購入量 = $6x$ です。

したがって、利潤 $\pi$ は、

$\pi = 27y - 6x$

ここで、生産関数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ を用いて、利潤を $x$ の関数として表します。

$\pi(x) = 27x^{\frac{2}{3}} - 6x$

利潤を最大化するには、$\pi(x)$ を $x$ で微分して、それが0になる $x$ を求めます。

$\frac{d\pi}{dx} = 27 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 18x^{-\frac{1}{3}} - 6$

$\frac{d\pi}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$18x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 0$

$18x^{-\frac{1}{3}} = 6$

$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

$x = 3^3 = 27$

最適購入量は $x = 27$ です。

次に、最適生産量を計算します。

$y = x^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 3^2 = 9$

最適生産量は $y = 9$ です。

3. 最終的な答え

最適購入量と最適生産量は、$(x, y) = (27, 9)$ である。