ある企業が生産要素$X$を用いて財$Y$を生産し、財$Y$を単価27で販売します。財$Y$の生産関数は$y = x^{\frac{2}{3}}$で与えられ、財$X$を単価6で購入するときの、最適購入量$x$と最適生産量$y$を求める問題です。

1. 問題の内容

ある企業が生産要素$X$を用いて財$Y$を生産し、財$Y$を単価27で販売します。財$Y$の生産関数は$y = x^{\frac{2}{3}}$で与えられ、財$X$を単価6で購入するときの、最適購入量$x$と最適生産量$y$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、企業の利潤$\pi$を定式化します。

利潤は、収入から費用を引いたものです。

収入は、財$Y$の販売価格（27）に生産量$y$を掛けたものです。

費用は、財$X$の購入価格（6）に購入量$x$を掛けたものです。

したがって、利潤$\pi$は次のように表されます。

$\pi = 27y - 6x$

ここで、$y = x^{\frac{2}{3}}$を代入すると、利潤は$x$だけの関数として表されます。

$\pi = 27x^{\frac{2}{3}} - 6x$

次に、利潤を最大化する$x$を求めます。

利潤を最大化するためには、利潤$\pi$を$x$で微分し、それが0になる$x$を求めます。

$\frac{d\pi}{dx} = 27 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} - 6 = 18x^{-\frac{1}{3}} - 6$

$\frac{d\pi}{dx} = 0$となる$x$を求めます。

$18x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 0$

$18x^{-\frac{1}{3}} = 6$

$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

$x = 3^3 = 27$

次に、$x = 27$を生産関数に代入して、$y$を求めます。

$y = x^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

したがって、最適購入量は$x = 27$、最適生産量は$y = 9$となります。

3. 最終的な答え

(x, y) = (27, 9)