2つの財 $X$ と $Y$ があり、効用関数が $U(x, y) = (2x + 5)(5y + 1)$ で与えられています。財 $X$ の価格は $p = 40$ 円、財 $Y$ の価格は $q = 50$ 円、予算は $M = 1210$ 円です。予算制約式を求め、最適消費量 $(x_*, y_*)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの財 $X$ と $Y$ があり、効用関数が $U(x, y) = (2x + 5)(5y + 1)$ で与えられています。財 $X$ の価格は $p = 40$ 円、財 $Y$ の価格は $q = 50$ 円、予算は $M = 1210$ 円です。予算制約式を求め、最適消費量 $(x_*, y_*)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、予算制約式を立てます。予算制約式は、

$px + qy = M$

で与えられます。与えられた値を代入すると、

$40x + 50y = 1210$

となります。簡単にするために10で割ると、

$4x + 5y = 121$

となります。したがって、$f = 4x + 5y$ です。

次に、効用関数 $U(x, y)$ の勾配 $\nabla U$ を計算します。

$\frac{\partial U}{\partial x} = 2(5y + 1) = 10y + 2$

$\frac{\partial U}{\partial y} = 5(2x + 5) = 10x + 25$

したがって、$\nabla U = \begin{pmatrix} 10y + 2 \\ 10x + 25 \end{pmatrix}$ です。

次に、予算制約式 $f = 4x + 5y$ の勾配 $\nabla f$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 5$

したがって、$\nabla f = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ です。

最適消費点では、$\nabla U$ と $\nabla f$ が平行であるため、あるスカラー $\lambda$ が存在して、

$\nabla U = \lambda \nabla f$

が成り立ちます。つまり、

$10y + 2 = 4\lambda$

$10x + 25 = 5\lambda$

この2つの式から $\lambda$ を消去します。

$\lambda = \frac{10y + 2}{4} = \frac{10x + 25}{5}$

$5(10y + 2) = 4(10x + 25)$

$50y + 10 = 40x + 100$

$50y = 40x + 90$

$5y = 4x + 9$

したがって、$5y = 4x + 9$ です。

これを予算制約式 $4x + 5y = 121$ に代入します。

$4x + (4x + 9) = 121$

$8x + 9 = 121$

$8x = 112$

$x = 14$

$5y = 4x + 9$ に $x = 14$ を代入します。

$5y = 4(14) + 9 = 56 + 9 = 65$

$y = 13$

したがって、最適消費点は $(x_*, y_*) = (14, 13)$ です。

$D(\nabla U, \nabla f)$ は $\nabla U = \lambda \nabla f$ の関係から $D(\nabla U, \nabla f) = 0$ となります。ただし、ここでは各変数が係数なので、 $\lambda = \frac{1}{10}$ を代入すると $\nabla U = 10 \lambda \nabla f$となり、$10 \lambda$ に単位をかけることになり、その係数を求めようとしていると考えられます。

$\lambda$ の値は、上記の式から

$\lambda = \frac{10y+2}{4} = \frac{10(13) + 2}{4} = \frac{132}{4} = 33$

$\lambda = \frac{10x+25}{5} = \frac{10(14) + 25}{5} = \frac{165}{5} = 33$

となります。 したがって、 $D(\nabla U, \nabla f) = 10(33/10 \nabla f)= 33 \nabla f$ となり、$10 (\lambda)$ と表されるので $10(33)$ です。しかし、$D(\nabla U, \nabla f) = 0$ から考え方を変えると、$\nabla U - \lambda \nabla f = 0$であり、$10(\nabla U - \lambda \nabla f) = 0$ です。

3. 最終的な答え

予算制約式は、$f = 4x + 5y = 121$ です。$D(\nabla U, \nabla f) = 10(0)$ なので、$(x_*, y_*) = (14, 13)$ です。