ある企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売する。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ であり、財Xを単価6で購入するときの最適購入量 $x$ と最適生産量 $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ある企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売する。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ であり、財Xを単価6で購入するときの最適購入量 $x$ と最適生産量 $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

企業の利潤 $\pi$ は、収入から費用を引いたものです。収入は $27y$ であり、費用は $6x$ です。したがって、利潤は以下の式で表されます。

$\pi = 27y - 6x$

生産関数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ を上記の利潤の式に代入すると、利潤は $x$ の関数として表すことができます。

$\pi(x) = 27x^{\frac{2}{3}} - 6x$

利潤を最大化するために、$x$ について微分し、それが0となる点を求めます。

$\frac{d\pi}{dx} = 27 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 18x^{-\frac{1}{3}} - 6$

$\frac{d\pi}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$18x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 0$

$18x^{-\frac{1}{3}} = 6$

$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

$x = 3^3 = 27$

したがって、最適な購入量 $x$ は 27 です。

次に、生産関数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ に $x = 27$ を代入して、最適な生産量 $y$ を求めます。

$y = (27)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

したがって、最適な生産量 $y$ は 9 です。

3. 最終的な答え

(x, y) = (27, 9)