ある企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売します。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ であり、財Xを単価6で購入します。このとき、企業の最適購入量xと最適生産量yを求める問題です。

1. 問題の内容

ある企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売します。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ であり、財Xを単価6で購入します。このとき、企業の最適購入量xと最適生産量yを求める問題です。

2. 解き方の手順

企業の利潤を最大化するxを求めます。利潤は、売上から費用を引いたものです。

売上は、財Yの生産量yに単価27をかけたものです。したがって、売上は $27y = 27x^{\frac{2}{3}}$ となります。

費用は、財Xの購入量xに単価6をかけたものです。したがって、費用は $6x$ となります。

利潤$\pi$は、売上から費用を引いたものなので、次のようになります。

$\pi = 27x^{\frac{2}{3}} - 6x$

利潤を最大化するために、$\pi$をxで微分し、それを0とおきます。

$\frac{d\pi}{dx} = 27 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 18x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 0$

$18x^{-\frac{1}{3}} = 6$

$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

$x = 3^3 = 27$

次に、求めたxを用いてyを計算します。

$y = x^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

3. 最終的な答え

最適購入量と最適生産量は、(x, y) = (27, 9) です。