企業は生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売する。財Yの生産関数は$y=x^{\frac{3}{2}}$である。財Xを単価6で購入するときの、最適なXの購入量とYの生産量を求める問題です。

1. 問題の内容

企業は生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売する。財Yの生産関数は$y=x^{\frac{3}{2}}$である。財Xを単価6で購入するときの、最適なXの購入量とYの生産量を求める問題です。

2. 解き方の手順

企業の利潤を最大化する問題を解きます。

利潤は、収入から費用を引いたものです。

収入は、財Yの価格に生産量をかけたものです。生産量は$y=x^{\frac{3}{2}}$なので、収入は$27y = 27x^{\frac{3}{2}}$となります。

費用は、財Xの価格に購入量をかけたもので、$6x$となります。

利潤$\pi$は、

$\pi = 27x^{\frac{3}{2}} - 6x$

となります。

利潤を最大化するためには、$\pi$を$x$で微分して0とおきます。

$\frac{d\pi}{dx} = 27 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

これを解くと、

$\frac{81}{2} x^{\frac{1}{2}} = 6$

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}$

$x = (\frac{4}{27})^2 = \frac{16}{729}$

次に、$x = \frac{16}{729}$を$y = x^{\frac{3}{2}}$に代入して、$y$を求めます。

$y = (\frac{16}{729})^{\frac{3}{2}} = (\frac{4^2}{27^2})^{\frac{3}{2}} = (\frac{4}{27})^3 = \frac{64}{19683}$

3. 最終的な答え

したがって、最適な購入量$x_*$と生産量$y_*$は、

$(x_*, y_*) = (\frac{16}{729}, \frac{64}{19683})$

となります。