与えられたデータ $(x, y) = (-2, -3), (0, -1), (1, 1), (2, -2)$ に対して、回帰直線を求める問題です。 $Y$ と $X$ が与えられており、$X'Y$, $X'X$, $(X'X)^{-1}$ を計算し、最後に回帰直線の式 $y = ax + b$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられたデータ $(x, y) = (-2, -3), (0, -1), (1, 1), (2, -2)$ に対して、回帰直線を求める問題です。

$Y$ と $X$ が与えられており、$X'Y$, $X'X$, $(X'X)^{-1}$ を計算し、最後に回帰直線の式 $y = ax + b$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$Y$ と $X$ を定義します。

$Y = \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

次に、$X'Y$ を計算します。

$X'Y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -9 \end{bmatrix}$

次に、$X'X$ を計算します。

$X'X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 9 \end{bmatrix}$

次に、$(X'X)^{-1}$ を計算します。

$(X'X)^{-1} = \frac{1}{4 \cdot 9 - 1 \cdot 1} \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{35} \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{9}{35} & -\frac{1}{35} \\ -\frac{1}{35} & \frac{4}{35} \end{bmatrix}$

回帰直線の係数 $\begin{bmatrix} b \\ a \end{bmatrix}$ は、$(X'X)^{-1}X'Y$ で求められます。

$\begin{bmatrix} b \\ a \end{bmatrix} = (X'X)^{-1}X'Y = \begin{bmatrix} \frac{9}{35} & -\frac{1}{35} \\ -\frac{1}{35} & \frac{4}{35} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 \\ -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-45 + 9}{35} \\ \frac{5 - 36}{35} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{36}{35} \\ -\frac{31}{35} \end{bmatrix}$

したがって、回帰直線は $y = -\frac{31}{35}x - \frac{36}{35}$ となります。

3. 最終的な答え

い: $\begin{bmatrix} -5 \\ -9 \end{bmatrix}$

ろ: $\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 9 \end{bmatrix}$

は: $\begin{bmatrix} \frac{9}{35} & -\frac{1}{35} \\ -\frac{1}{35} & \frac{4}{35} \end{bmatrix}$

に: $-\frac{31}{35}x - \frac{36}{35}$