$z=0$, $y=0$, $x=0$ および $z = 2 - 2x - y$ で囲まれた4面体の体積を、重積分を用いて求めよ。xy平面の積分領域を図示すること。

1. 問題の内容

$z=0$, $y=0$, $x=0$ および $z = 2 - 2x - y$ で囲まれた4面体の体積を、重積分を用いて求めよ。xy平面の積分領域を図示すること。

2. 解き方の手順

まず、積分領域を決定します。4面体は、$z=0$, $y=0$, $x=0$, $z = 2 - 2x - y$ で囲まれているので、積分領域は$xy$平面上で、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $z = 2 - 2x - y \geq 0$ を満たす領域となります。

$2 - 2x - y \geq 0$ より、$y \leq 2 - 2x$ です。

したがって、積分領域は、$0 \leq x$, $0 \leq y$, $y \leq 2 - 2x$ で表されます。

$y = 2 - 2x$ と $y = 0$ の交点は、$0 = 2 - 2x$ より $x = 1$ です。

したがって、$x$ の範囲は、$0 \leq x \leq 1$ となります。$x$ が与えられたとき、$y$ の範囲は、$0 \leq y \leq 2 - 2x$ となります。

4面体の体積 $V$ は、重積分で次のように計算できます。

$V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2x} (2 - 2x - y) \, dy \, dx$

まず、$y$ について積分します。

$\int_{0}^{2-2x} (2 - 2x - y) \, dy = [(2 - 2x)y - \frac{1}{2}y^2]_{0}^{2-2x} = (2 - 2x)(2 - 2x) - \frac{1}{2}(2 - 2x)^2 = (2 - 2x)^2 - \frac{1}{2}(2 - 2x)^2 = \frac{1}{2}(2 - 2x)^2 = \frac{1}{2}(4 - 8x + 4x^2) = 2 - 4x + 2x^2$

次に、$x$ について積分します。

$\int_{0}^{1} (2 - 4x + 2x^2) \, dx = [2x - 2x^2 + \frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = 2 - 2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、4面体の体積は $\frac{2}{3}$ です。

3. 最終的な答え

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