年齢 $x$ 歳に対する体内水分率 $y$ % を表すグラフが与えられており、そのグラフは以下の式で表される。 $0 \le x \le 20$ のとき: $y = \frac{1}{30}x^2 - \frac{5}{3}x + 80$ $20 \le x \le 40$ のとき: $y = \frac{1}{180}x^2 - \frac{5}{9}x + \frac{1}{9}a$ $40 \le x \le 80$ のとき: $y = -\frac{1}{180}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{460}{9}$ (1) $0 \le x \le 80$ でグラフが連続していることを利用して、定数 $a$ の値を求める。 (2) 60歳のときの体内水分率を求め、小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求める。 (3) 体内の水分の量が体重の $\frac{2}{3}$ になるときの年齢を自然数で求める。

1. 問題の内容

年齢 $x$ 歳に対する体内水分率 $y$ % を表すグラフが与えられており、そのグラフは以下の式で表される。

$0 \le x \le 20$ のとき: $y = \frac{1}{30}x^2 - \frac{5}{3}x + 80$

$20 \le x \le 40$ のとき: $y = \frac{1}{180}x^2 - \frac{5}{9}x + \frac{1}{9}a$

$40 \le x \le 80$ のとき: $y = -\frac{1}{180}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{460}{9}$

(1) $0 \le x \le 80$ でグラフが連続していることを利用して、定数 $a$ の値を求める。

(2) 60歳のときの体内水分率を求め、小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求める。

(3) 体内の水分の量が体重の $\frac{2}{3}$ になるときの年齢を自然数で求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=20$ のとき、グラフが連続であることから、$0 \le x \le 20$ のときの式と $20 \le x \le 40$ のときの式が等しい。よって、

$\frac{1}{30}(20)^2 - \frac{5}{3}(20) + 80 = \frac{1}{180}(20)^2 - \frac{5}{9}(20) + \frac{1}{9}a$

これを解く。

$\frac{400}{30} - \frac{100}{3} + 80 = \frac{400}{180} - \frac{100}{9} + \frac{1}{9}a$

$\frac{20}{3} - \frac{100}{3} + 80 = \frac{20}{9} - \frac{100}{9} + \frac{1}{9}a$

$-\frac{80}{3} + 80 = -\frac{80}{9} + \frac{1}{9}a$

$\frac{160}{3} = -\frac{80}{9} + \frac{1}{9}a$

$480 = -80 + a$

$a = 560$

次に、$x=40$ のとき、グラフが連続であることから、$20 \le x \le 40$ のときの式と $40 \le x \le 80$ のときの式が等しい。よって、

$\frac{1}{180}(40)^2 - \frac{5}{9}(40) + \frac{1}{9}(560) = -\frac{1}{180}(40)^2 + \frac{1}{3}(40) + \frac{460}{9}$

$\frac{1600}{180} - \frac{200}{9} + \frac{560}{9} = -\frac{1600}{180} + \frac{40}{3} + \frac{460}{9}$

$\frac{80}{9} - \frac{200}{9} + \frac{560}{9} = -\frac{80}{9} + \frac{120}{9} + \frac{460}{9}$

$\frac{440}{9} = \frac{500}{9}$

これは矛盾しているので、グラフの定義がおかしいか、どこかで計算間違いをしている。

しかし、$a=560$を求めることができた。

(2) 60歳のときの体内水分率を求める。$40 \le x \le 80$ の式を使う。

$y = -\frac{1}{180}(60)^2 + \frac{1}{3}(60) + \frac{460}{9}$

$y = -\frac{3600}{180} + 20 + \frac{460}{9}$

$y = -20 + 20 + \frac{460}{9}$

$y = \frac{460}{9} \approx 51.111$

小数第2位を四捨五入すると、51.1。

(3) 体内の水分の量が体重の $\frac{2}{3}$ になるとき、これは体内水分率が $\frac{2}{3} \times 100 = 66.666... \%$ となることを意味する。

$0 \le x \le 20$ の範囲では、$y = \frac{1}{30}x^2 - \frac{5}{3}x + 80 = \frac{200}{3}$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{30}x^2 - \frac{5}{3}x + 80 - \frac{200}{3} = 0$

$\frac{1}{30}x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{40}{3} = 0$

$x^2 - 50x + 400 = 0$

$(x - 10)(x - 40) = 0$

$x = 10, 40$

$x=10$ は範囲内。$x=40$ は範囲外。

$20 \le x \le 40$ の範囲では、$y = \frac{1}{180}x^2 - \frac{5}{9}x + \frac{560}{9} = \frac{200}{3}$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{180}x^2 - \frac{5}{9}x + \frac{560}{9} - \frac{600}{9} = 0$

$\frac{1}{180}x^2 - \frac{5}{9}x - \frac{40}{9} = 0$

$x^2 - 100x - 800 = 0$

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 + 3200}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{13200}}{2} = 50 \pm 10\sqrt{33} \approx 50 \pm 57.44$

$x \approx -7.44, 107.44$

範囲外。

$40 \le x \le 80$ の範囲では、$y = -\frac{1}{180}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{460}{9} = \frac{200}{3}$ となる $x$ を求める。

$-\frac{1}{180}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{460}{9} - \frac{600}{9} = 0$

$-\frac{1}{180}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{140}{9} = 0$

$-x^2 + 60x - 2800 = 0$

$x^2 - 60x + 2800 = 0$

$x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 11200}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{-7600}}{2}$

解なし。

したがって、$x=10$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 560$

(2) 51.1 %

(3) 10 歳