質量 $m$ の重りを軽い糸で吊るし、糸の長さが $L$ で、鉛直線とのなす角が $\theta$ である円錐振り子について、以下の問いに答える問題です。 (1) 糸が重りを引く力の大きさ $S$ を求める。 (2) 等速円運動の周期 $T$ を求める。 ただし、重力加速度は $g$ 、円周率は $\pi$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ の重りを軽い糸で吊るし、糸の長さが $L$ で、鉛直線とのなす角が $\theta$ である円錐振り子について、以下の問いに答える問題です。

(1) 糸が重りを引く力の大きさ $S$ を求める。

(2) 等速円運動の周期 $T$ を求める。

ただし、重力加速度は $g$ 、円周率は $\pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 糸が重りを引く力の大きさ $S$ について:

重りには重力 $mg$ と糸の張力 $S$ が働いています。鉛直方向には力が釣り合っているので、

$S \cos{\theta} = mg$

したがって、糸が重りを引く力の大きさ $S$ は、

$S = \frac{mg}{\cos{\theta}}$

(2) 等速円運動の周期 $T$ について:

重りの回転半径 $r$ は、

$r = L \sin{\theta}$

水平方向の運動方程式は、

$S \sin{\theta} = m a = m \frac{v^2}{r}$

$S$ を代入すると、

$\frac{mg}{\cos{\theta}} \sin{\theta} = m \frac{v^2}{L \sin{\theta}}$

$g \tan{\theta} = \frac{v^2}{L \sin{\theta}}$

$v^2 = g L \sin{\theta} \tan{\theta}$

$v = \sqrt{g L \sin{\theta} \tan{\theta}}$

周期 $T$ は、

$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi L \sin{\theta}}{\sqrt{g L \sin{\theta} \tan{\theta}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L \sin{\theta}}{g \tan{\theta}}}$

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$なので、

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L \cos{\theta}}{g}}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{mg}{\cos{\theta}}$

(2) $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L \cos{\theta}}{g}}$