領域 $D = \{(x, y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x \}$ 上で、関数 $f(x, y) = 2x + y$ 以下となる関数を全て選択する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x \}$ 上で、関数 $f(x, y) = 2x + y$ 以下となる関数を全て選択する問題です。

2. 解き方の手順

領域 $D$ 上で $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le x$ が成り立つことを利用します。

各選択肢の関数 $g(x, y)$ について、$f(x, y) - g(x, y) \ge 0$ が領域 $D$ 上で常に成り立つかどうかを調べます。

* $g(x, y) = x + y$ の場合：

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (x + y) = x \ge 0$。領域 $D$ 上で $x \ge 0$ なので、$x + y$ は条件を満たします。

* $g(x, y) = x + 2y$ の場合：

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (x + 2y) = x - y$。領域 $D$ 上で $x \ge y$ なので、$x - y \ge 0$。したがって、$x + 2y$ は条件を満たします。

* $g(x, y) = 2x$ の場合：

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (2x) = y \ge 0$。領域 $D$ 上で $y \ge 0$ なので、$2x$ は条件を満たします。

* $g(x, y) = 2x + 2y$ の場合：

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (2x + 2y) = -y$。領域 $D$ 上で $y \ge 0$ なので、$-y \le 0$となり、$2x+2y$は条件を満たしません。例えば、$x=1, y=1$のとき、$2x+y=3$, $2x+2y=4$となり、$2x+y$以下になっていません。

* $g(x, y) = 3x + y$ の場合：

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (3x + y) = -x$。領域 $D$ 上で $x \ge 0$ なので、$-x \le 0$ となり、$3x+y$は条件を満たしません。例えば、$x=1, y=0$のとき、$2x+y=2$, $3x+y=3$となり、$2x+y$以下になっていません。

* $g(x, y) = y$ の場合：

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (y) = 2x \ge 0$。領域 $D$ 上で $x \ge 0$ なので、$y$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$x + y$, $x + 2y$, $2x$, $y$