水槽の平面壁に設置された長方形の板に作用する水圧に関する問題です。板の高さ $a = 14 \text{ m}$、幅 $b = 12 \text{ m}$ で、板の上縁は水面から $h = 5.3 \text{ m}$ の深さにあります。重力加速度 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$、水の密度 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ とします。以下の４つの問いに答えます。 (1) 長方形部分の重心Gにおける水圧 $p_G$ を求める。 (2) 水圧による全圧力 $P$ を求める。 (3) 重心Gを通りx軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_G$、およびx軸に対する慣性モーメント $I_x$ を求める。 (4) 全圧力 $P$ が作用する圧力中心Cの水面からの深さ $z_c$ を求める。

1. 問題の内容

水槽の平面壁に設置された長方形の板に作用する水圧に関する問題です。板の高さ $a = 14 \text{ m}$、幅 $b = 12 \text{ m}$ で、板の上縁は水面から $h = 5.3 \text{ m}$ の深さにあります。重力加速度 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$、水の密度 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ とします。以下の４つの問いに答えます。

(1) 長方形部分の重心Gにおける水圧 $p_G$ を求める。

(2) 水圧による全圧力 $P$ を求める。

(3) 重心Gを通りx軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_G$、およびx軸に対する慣性モーメント $I_x$ を求める。

(4) 全圧力 $P$ が作用する圧力中心Cの水面からの深さ $z_c$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心Gの位置における水圧 $p_G$ を求める。

長方形の重心Gは、長方形の中心にあります。

したがって、重心Gの水面からの深さ $z_G$ は、

$z_G = h + \frac{a}{2} = 5.3 \text{ m} + \frac{14 \text{ m}}{2} = 5.3 \text{ m} + 7 \text{ m} = 12.3 \text{ m}$

水圧 $p_G$ は、

$p_G = \rho g z_G = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 12.3 \text{ m} = 120540 \text{ Pa} = 120.54 \text{ kPa}$

(2) 水圧による全圧力 $P$ を求める。

全圧力 $P$ は、

$P = p_G \times A = p_G \times ab = 120540 \text{ Pa} \times 14 \text{ m} \times 12 \text{ m} = 20250720 \text{ N} = 20.25 \text{ MN}$

(3) 重心Gを通りx軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_G$、およびx軸に対する慣性モーメント $I_x$ を求める。

重心Gを通りx軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_G$ は、

$I_G = \frac{1}{12} b a^3 = \frac{1}{12} \times 12 \text{ m} \times (14 \text{ m})^3 = 2744 \text{ m}^4$

x軸に対する慣性モーメント $I_x$ は、平行軸の定理より、

$I_x = I_G + A z_G^2 = I_G + (ab) z_G^2 = 2744 \text{ m}^4 + (14 \text{ m} \times 12 \text{ m}) \times (12.3 \text{ m})^2 = 2744 \text{ m}^4 + 25433.76 \text{ m}^4 = 28177.76 \text{ m}^4$

(4) 全圧力 $P$ が作用する圧力中心Cの水面からの深さ $z_c$ を求める。

$z_c = z_G + \frac{I_G}{A z_G} = z_G + \frac{I_G}{ab z_G} = 12.3 \text{ m} + \frac{2744 \text{ m}^4}{14 \text{ m} \times 12 \text{ m} \times 12.3 \text{ m}} = 12.3 \text{ m} + \frac{2744}{2059.2} \text{ m} = 12.3 \text{ m} + 1.3325 \text{ m} \approx 13.63 \text{ m}$

3. 最終的な答え

(1) $p_G = 120.54 \text{ kPa}$

(2) $P = 20.25 \text{ MN}$

(3) $I_G = 2744 \text{ m}^4$, $I_x = 28177.76 \text{ m}^4$

(4) $z_c = 13.63 \text{ m}$