複素数 $z$ について、$z^3 = -4 + 4\sqrt{3}i$ を満たす $z$ を全て求め、それらを複素数平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、$z^3 = -4 + 4\sqrt{3}i$ を満たす $z$ を全て求め、それらを複素数平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、$-4+4\sqrt{3}i$ を極形式で表す。

$r = \sqrt{(-4)^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$

$\theta$ について、$\cos\theta = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$ 、$\sin\theta = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす。

したがって、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ となる。

よって、$-4+4\sqrt{3}i = 8(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)$ となる。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおく。

$z^3 = r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta) = 8(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)$

したがって、$r^3 = 8$ より $r=2$ となる。

$3\theta = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi$ ($k$ は整数)

$\theta = \frac{2}{9}\pi + \frac{2}{3}k\pi$

$k = 0, 1, 2$ を代入すると、

$k=0$ のとき、$\theta = \frac{2}{9}\pi$

$k=1$ のとき、$\theta = \frac{2}{9}\pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{2}{9}\pi + \frac{6}{9}\pi = \frac{8}{9}\pi$

$k=2$ のとき、$\theta = \frac{2}{9}\pi + \frac{4}{3}\pi = \frac{2}{9}\pi + \frac{12}{9}\pi = \frac{14}{9}\pi$

よって、

$z = 2(\cos\frac{2}{9}\pi + i\sin\frac{2}{9}\pi)$

$z = 2(\cos\frac{8}{9}\pi + i\sin\frac{8}{9}\pi)$

$z = 2(\cos\frac{14}{9}\pi + i\sin\frac{14}{9}\pi)$

複素数平面上に図示する場合は、原点を中心とする半径2の円を描き、その円周上に、偏角がそれぞれ $\frac{2}{9}\pi$, $\frac{8}{9}\pi$, $\frac{14}{9}\pi$ となる点を描く。

3. 最終的な答え

$z = 2(\cos\frac{2}{9}\pi + i\sin\frac{2}{9}\pi)$

$z = 2(\cos\frac{8}{9}\pi + i\sin\frac{8}{9}\pi)$

$z = 2(\cos\frac{14}{9}\pi + i\sin\frac{14}{9}\pi)$