直径 $d_a = 330 \text{ mm}$ の円管aと直径 $d_b = 150 \text{ mm}$ の円管bが接続されている。円管aの圧力は $p_a = 7.3 \times 10^5 \text{ Pa}$ で、円管bの流速は $u_b = 4 \text{ m/s}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 連続の式を文字式で示せ。 (2) ベルヌーイの定理の式を文字式で示せ。 (3) 流量と質量流量を求めよ。 (4) 円管aの流速 $u_a$ を求めよ。 (5) 円管bの圧力 $p_b$ を求めよ。

1. 問題の内容

直径 $d_a = 330 \text{ mm}$ の円管aと直径 $d_b = 150 \text{ mm}$ の円管bが接続されている。円管aの圧力は $p_a = 7.3 \times 10^5 \text{ Pa}$ で、円管bの流速は $u_b = 4 \text{ m/s}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続の式を文字式で示せ。

(2) ベルヌーイの定理の式を文字式で示せ。

(3) 流量と質量流量を求めよ。

(4) 円管aの流速 $u_a$ を求めよ。

(5) 円管bの圧力 $p_b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 連続の式

連続の式は、非圧縮性流体の場合、以下のようになる。

$A_a u_a = A_b u_b$

ここで、$A_a$と$A_b$はそれぞれ円管aとbの断面積である。断面積は直径を使って $A = \pi (d/2)^2$ と表せるので、連続の式は以下のようになる。

$\pi (d_a/2)^2 u_a = \pi (d_b/2)^2 u_b$

$(d_a)^2 u_a = (d_b)^2 u_b$

(2) ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理は、水平な配管の場合、以下のようになる。

$p_a + \frac{1}{2} \rho u_a^2 = p_b + \frac{1}{2} \rho u_b^2$

(3) 流量と質量流量

流量 $Q$ は断面積と流速の積で表される。円管bの流量 $Q_b$ は以下のようになる。

$Q_b = A_b u_b = \pi (d_b/2)^2 u_b$

質量流量 $\dot{m}$ は流量と密度の積で表される。円管bの質量流量 $\dot{m}_b$ は以下のようになる。

$\dot{m}_b = \rho Q_b = \rho \pi (d_b/2)^2 u_b$

(4) 円管aの流速 $u_a$

連続の式より、円管aの流速 $u_a$ は以下のようになる。

$u_a = \frac{(d_b)^2}{(d_a)^2} u_b$

(5) 円管bの圧力 $p_b$

ベルヌーイの定理より、円管bの圧力 $p_b$ は以下のようになる。

$p_b = p_a + \frac{1}{2} \rho (u_a^2 - u_b^2)$

3. 最終的な答え

(1) 連続の式: $(d_a)^2 u_a = (d_b)^2 u_b$

(2) ベルヌーイの定理: $p_a + \frac{1}{2} \rho u_a^2 = p_b + \frac{1}{2} \rho u_b^2$

(3) 流量 $Q_b$:

$d_b = 150 \text{ mm} = 0.15 \text{ m}$

$Q_b = \pi (0.15/2)^2 \times 4 \text{ m/s} = \pi (0.075)^2 \times 4 \text{ m}^3/\text{s} = 0.07068 \text{ m}^3/\text{s} \approx 0.0707 \text{ m}^3/\text{s}$

質量流量 $\dot{m}_b$:

$\dot{m}_b = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 0.07068 \text{ m}^3/\text{s} = 70.68 \text{ kg/s} \approx 70.7 \text{ kg/s}$

(4) 円管aの流速 $u_a$:

$d_a = 330 \text{ mm} = 0.33 \text{ m}$

$u_a = \frac{(0.15)^2}{(0.33)^2} \times 4 \text{ m/s} = \frac{0.0225}{0.1089} \times 4 \text{ m/s} = 0.2066 \times 4 \text{ m/s} = 0.8264 \text{ m/s} \approx 0.826 \text{ m/s}$

(5) 円管bの圧力 $p_b$:

$p_b = 7.3 \times 10^5 \text{ Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \text{ kg/m}^3 \times ((0.8264 \text{ m/s})^2 - (4 \text{ m/s})^2)$

$p_b = 7.3 \times 10^5 \text{ Pa} + 500 \times (0.683 - 16) \text{ Pa}$

$p_b = 7.3 \times 10^5 \text{ Pa} + 500 \times (-15.317) \text{ Pa}$

$p_b = 7.3 \times 10^5 \text{ Pa} - 7658.5 \text{ Pa}$

$p_b = 722341.5 \text{ Pa} \approx 7.22 \times 10^5 \text{ Pa}$

流量: $0.0707 \text{ m}^3/\text{s}$

質量流量: $70.7 \text{ kg/s}$

円管aの流速: $0.826 \text{ m/s}$

円管bの圧力: $7.22 \times 10^5 \text{ Pa}$