ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{10}$ であるベクトル $\vec{b}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{10}$ であるベクトル $\vec{b}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{b} = (x, y)$ とおきます。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直である条件は、内積が0になることなので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ です。

つまり、

$2x + y = 0$

です。

したがって、$y = -2x$となります。

$\vec{b}$ の大きさが $\sqrt{10}$ である条件は、

$|\vec{b}| = \sqrt{10}$

であることから、

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$

両辺を2乗して、

$x^2 + y^2 = 10$

となります。

$y = -2x$を$x^2 + y^2 = 10$に代入すると、

$x^2 + (-2x)^2 = 10$

$x^2 + 4x^2 = 10$

$5x^2 = 10$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

となります。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = -2\sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$y = 2\sqrt{2}$

したがって、求めるベクトル $\vec{b}$ は $(\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ と $(-\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$です。

3. 最終的な答え

$\vec{b} = (\sqrt{2}, -2\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$