実数 $x$ に対して、$\cos 3x$ を $\cos x$ の多項式で表す問題を解きます。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$\cos 3x$ を $\cos x$ の多項式で表す問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos$ の加法定理を繰り返し使って、$\cos 3x$ を展開していきます。

$\cos 3x = \cos (2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

次に、$\cos 2x$ と $\sin 2x$ を $\cos x$ と $\sin x$ で表します。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

これらを代入して、

$\cos 3x = (\cos^2 x - \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x = \cos^3 x - \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x$

さらに、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を使って $\sin$ を $\cos$ で表します。

$\cos 3x = \cos^3 x - (1 - \cos^2 x) \cos x - 2 (1 - \cos^2 x) \cos x$

$= \cos^3 x - \cos x + \cos^3 x - 2 \cos x + 2 \cos^3 x$

$= 4 \cos^3 x - 3 \cos x$

3. 最終的な答え

$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$