三角形ABCにおいて、3辺の長さが$a=7, b=4, c=5$であるとき、以下の値を求めます。 (1) $\cos A$の値 (2) $\sin A$の値 (3) 三角形ABCの面積S

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、3辺の長さが$a=7, b=4, c=5$であるとき、以下の値を求めます。

(1) $\cos A$の値

(2) $\sin A$の値

(3) 三角形ABCの面積S

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$の値を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると、

$\cos A = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$

(2) $\sin A$の値を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin A = \pm \sqrt{1 - \cos^2 A}$

$A$は三角形の内角なので、$0 < A < \pi$であるから、$\sin A > 0$である。

$\sin A = \sqrt{1 - (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(3) 三角形ABCの面積Sを求める。

三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

与えられた値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = -\frac{1}{5}$

(2) $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(3) $S = 4\sqrt{6}$