放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = -2x + 4$ の交点をA, Bとする。点A, Bの座標はそれぞれ A(-2, 8), B(1, 2) である。このとき、三角形OABの面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = -2x + 4$ の交点をA, Bとする。点A, Bの座標はそれぞれ A(-2, 8), B(1, 2) である。このとき、三角形OABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形OABの面積を求める。

まず、直線ABの方程式 $y = -2x + 4$ を利用して、点Oから直線ABまでの距離（三角形OABの高さ）を求める。そのためには、直線ABの方程式を一般形 $2x + y - 4 = 0$ に変換する。

点O(0, 0) と直線 $2x + y - 4 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて、

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d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}

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となる。次に、線分ABの長さを求める。

$A(-2, 8)$, $B(1, 2)$ より、

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AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

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したがって、三角形OABの面積 $S$ は、

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S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6

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となる。

3. 最終的な答え

三角形OABの面積は6。