長方形ABCDがあり、AB=6cm, AD=10cmである。点Eは辺CD上にある。線分AEで長方形を折り曲げたところ、点Dが辺BC上に重なった。このとき、線分CEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=6cm, AD=10cmである。点Eは辺CD上にある。線分AEで長方形を折り曲げたところ、点Dが辺BC上に重なった。このとき、線分CEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、折り曲げによってADとAD'の長さが等しいことを利用する。すなわち、AD=AD'=10cm。また、∠DAE = ∠D'AEである。

次に、長方形の性質から、∠ADC=90度なので、折り曲げ後の∠AD'Cも90度。従って、三角形ABD'は直角三角形である。

三角形ABD'において、AB=6cm, AD'=10cmなので、ピタゴラスの定理より、

$BD'^{2} = AD'^{2} - AB^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$

よって、$BD' = \sqrt{64} = 8cm$

BC=AD=10cmだから、$D'C = BC - BD' = 10cm - 8cm = 2cm$

三角形AD'Eと三角形CED'は合同な図形であるから、DE = D'E

また、DE+CE = CD=AB = 6cmである。

$DE = 6cm - CE$なので、$D'E = 6cm - CE$

直角三角形D'CEにおいて、

$D'E^{2} = CE^{2} + D'C^{2}$

$(6 - CE)^{2} = CE^{2} + 2^{2}$

$36 - 12CE + CE^{2} = CE^{2} + 4$

$36 - 12CE = 4$

$12CE = 32$

$CE = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

線分CEの長さは$\frac{8}{3}$cm。