直方体 ABCD-EFGH が与えられており、AB=3, BC=8, BF=4 である。 (1) AC と CF の長さを求める。 (2) 角 AFC を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求める。 (3) 三角形 AFC の面積を求める。 (4) 点 B から三角形 AFC に下ろした垂線の長さ BK を求める。

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH が与えられており、AB=3, BC=8, BF=4 である。

(1) AC と CF の長さを求める。

(2) 角 AFC を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求める。

(3) 三角形 AFC の面積を求める。

(4) 点 B から三角形 AFC に下ろした垂線の長さ BK を求める。

2. 解き方の手順

(1)

AC の長さを求める。三角形 ABC は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$。

したがって、1 は $\sqrt{73}$。

CF の長さを求める。三角形 BCF は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$。

したがって、2 は $4\sqrt{5}$。

(2)

AF の長さを求める。三角形 ABF は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。

三角形 AFC について余弦定理を用いる。

$AC^2 = AF^2 + CF^2 - 2 \times AF \times CF \times \cos\theta$

$73 = 25 + 80 - 2 \times 5 \times 4\sqrt{5} \times \cos\theta$

$73 = 105 - 40\sqrt{5} \cos\theta$

$40\sqrt{5} \cos\theta = 105 - 73 = 32$

$\cos\theta = \frac{32}{40\sqrt{5}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{25}$。

したがって、3 は $\frac{4\sqrt{5}}{25}$。

(3)

三角形 AFC の面積を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{4\sqrt{5}}{25})^2 = 1 - \frac{16 \times 5}{625} = 1 - \frac{80}{625} = 1 - \frac{16}{125} = \frac{109}{125}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{109}{125}} = \frac{\sqrt{109}}{5\sqrt{5}}$

面積 $S = \frac{1}{2} \times AF \times CF \times \sin\theta = \frac{1}{2} \times 5 \times 4\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{109}}{5\sqrt{5}} = 2\sqrt{109}$。

したがって、4 は $2\sqrt{109}$。

(4)

四面体 B-AFC の体積 $V$ は、底面を AFC と考えると $V = \frac{1}{3} \times S \times BK = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{109} \times BK$。

一方、底面を ABC と考えると、高さは BF なので、$V = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times AB \times BC) \times BF = \frac{1}{6} \times 3 \times 8 \times 4 = 16$。

したがって、$\frac{2\sqrt{109}}{3} \times BK = 16$ より、$BK = \frac{16 \times 3}{2\sqrt{109}} = \frac{24}{\sqrt{109}} = \frac{24\sqrt{109}}{109}$。

したがって、5 は $\frac{24\sqrt{109}}{109}$。

3. 最終的な答え

1: $\sqrt{73}$

2: $4\sqrt{5}$

3: $\frac{4\sqrt{5}}{25}$

4: $2\sqrt{109}$

5: $\frac{24\sqrt{109}}{109}$