ベクトル $a = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (i) ベクトル $a$ の大きさ $\lVert a \rVert$ (ii) ベクトル $a$ と $b$ の内積 $(a, b)$ (iii) ベクトル $a$ と $b$ のなす角を $\theta$ としたときの $\cos \theta$ (iv) ベクトル $a$ と $b$ の外積 $a \times b$ (v) ベクトル $a$ と $b$ を2辺とする平行四辺形の面積

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(i) ベクトル $a$ の大きさ $\lVert a \rVert$

(ii) ベクトル $a$ と $b$ の内積 $(a, b)$

(iii) ベクトル $a$ と $b$ のなす角を $\theta$ としたときの $\cos \theta$

(iv) ベクトル $a$ と $b$ の外積 $a \times b$

(v) ベクトル $a$ と $b$ を2辺とする平行四辺形の面積

2. 解き方の手順

(i) ベクトル $a$ の大きさ $\lVert a \rVert$ は、各成分の二乗の和の平方根で求められます。

$\lVert a \rVert = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$

(ii) ベクトル $a$ と $b$ の内積 $(a, b)$ は、対応する成分の積の和で求められます。

$(a, b) = (-4)(-1) + (1)(3) + (-2)(0) = 4 + 3 + 0 = 7$

(iii) ベクトル $a$ と $b$ のなす角 $\theta$ について、$\cos \theta$ は次の式で求められます。

$\cos \theta = \frac{(a, b)}{\lVert a \rVert \lVert b \rVert}$

$\lVert b \rVert = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{21} \sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{210}}$

$\cos \theta = \frac{7\sqrt{210}}{210} = \frac{\sqrt{210}}{30}$

(iv) ベクトル $a$ と $b$ の外積 $a \times b$ は次の式で求められます。

$a \times b = \begin{bmatrix} (1)(0) - (-2)(3) \\ (-2)(-1) - (-4)(0) \\ (-4)(3) - (1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 + 6 \\ 2 - 0 \\ -12 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ -11 \end{bmatrix}$

(v) ベクトル $a$ と $b$ を2辺とする平行四辺形の面積は、外積の大きさ $\lVert a \times b \rVert$ で求められます。

$\lVert a \times b \rVert = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{36 + 4 + 121} = \sqrt{161}$

3. 最終的な答え

(i) $\lVert a \rVert = \sqrt{21}$

(ii) $(a, b) = 7$

(iii) $\cos \theta = \frac{\sqrt{210}}{30}$

(iv) $a \times b = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ -11 \end{bmatrix}$

(v) $\sqrt{161}$