円の中心Oから距離1mの位置に、点A, Bがある。 ∠AOC = 45°, ∠BOD = 37° のとき、次の問いに答えよ。 (1) tan∠AOD の値を求めよ。 (2) $AB^2$ の値を求めよ。 (3) cos∠AOB の値を求めよ。 ただし、sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8 とする。

1. 問題の内容

円の中心Oから距離1mの位置に、点A, Bがある。

∠AOC = 45°, ∠BOD = 37° のとき、次の問いに答えよ。

(1) tan∠AOD の値を求めよ。

(2) $AB^2$ の値を求めよ。

(3) cos∠AOB の値を求めよ。

ただし、sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8 とする。

2. 解き方の手順

(1) ∠AOD の値を求める。∠AOD = 180° - ∠AOC - ∠BOD = 180° - 45° - 37° = 98°

tan 98° は選択肢にない。図から考えて、∠AODは90°より大きい鈍角なので、tan∠AODは負の値になるはず。しかし選択肢にそのようなものがない。

しかし、もし∠BODのDが図とは反対の円弧上にあるとすると、∠AOD = 180° - 45° + 37° = 172°。この場合もtan∠AODは負になるはず。

問題文をよく読むと、∠BOD=37°とあるだけなので、点Dは点Bから37°回転した位置の可能性がある。点Dが点Bから時計回りに37°回転した位置にあるとき、∠AOD=∠AOB+∠BOD=180°−(45°+37°)+37°=135°+37°=172°。tan172°も選択肢にない。

ここで、円O上に点C, Dがあるという解釈で考える。∠AOD = 180° - ∠AOC - ∠BOD = 180° - 45° - 37° = 98°。OCとODが直交するとき、∠COD = 90°なので、∠AOD = 180° - 45° - 37° = 98°である。

問題文の図から∠AOD>90°であり、∠AOD<180°なので、第2象限の角である。tanはマイナスになる。

∠AOC+∠BOD=45°+37°=82°であるので、∠AOD = 180° - 82° = 98°である。

∠AOD = 98°なので、選択肢の中に正しいものはない。

(2) 余弦定理より、

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA\cdot OB\cdot cos∠AOB$

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot cos(180° - 45° - 37°)$

$AB^2 = 2 - 2cos(98°)$

$AB^2 = 2 - 2cos(98°) = 2 - 2cos(90° + 8°) = 2 + 2sin(8°)$

$AB^2 = 2 - 2cos(98°) = 2 - 2cos(90° + 8°) = 2 - 2(-sin(8°))$

$AB^2 = 2+2sin(8°)$

角度がわからないので保留。

(3) cos∠AOB を求める。

∠AOB = 180° - ∠AOC - ∠BOD = 180° - 45° - 37° = 98°

cos∠AOB = cos98° = cos(90° + 8°) = -sin8°

保留。

(1)

∠AOD = 180° - 45° - 37° = 98°

tan98°は選択肢にない。

3. 最終的な答え

(1) 選択肢に正しいものはない。

(2) $2 - 2cos98° = 2 + 2sin8°$

(3) cos98° = -sin8°