花子さんと太郎さんが、三角形ABDに対して余弦定理を用いてADの長さを求める問題を考えています。$AD=x$ とおくと、$x$ についての二次方程式 $x^2 - (14\cos{\angle BAD})x + 49 - BD^2 = 0$ が得られます。しかし、この二次方程式を解くと、$x$ の値が二つ出てきてしまいます。この二つの $x$ の値のうち、一つは何を表しているのか、という問題です。

1. 問題の内容

花子さんと太郎さんが、三角形ABDに対して余弦定理を用いてADの長さを求める問題を考えています。$AD=x$ とおくと、$x$ についての二次方程式 $x^2 - (14\cos{\angle BAD})x + 49 - BD^2 = 0$ が得られます。しかし、この二次方程式を解くと、$x$ の値が二つ出てきてしまいます。この二つの $x$ の値のうち、一つは何を表しているのか、という問題です。

2. 解き方の手順

図1を見て、点Dに関して対称な点E1, E2を考えることがヒントになっています。

* 二次方程式の解は二つあり、ADの長さを表すことは明らかです。

* もう一つの解は、対称性から考察できます。

* $\triangle ABH_1$と$\triangle AE_1H_1$は合同であり、$\triangle ACH_2$と$\triangle AE_2H_2$は合同です。

* したがって、$AD = AE_1 = AE_2$です。

* 二次方程式の解が二つあるということは、ADの長さが２通り考えられることを意味します。

* 図1から想像できるように、AD=xと置いたとき、もう一つの解は線分AE2の長さを表していると考えられます。

3. 最終的な答え

チツ = AE2

テト = AE2