三角形ABCにおいて、辺ACの長さが$4\sqrt{3}$、辺ABの長さが$3\sqrt{6}$、角Aが45°であるとき、辺BCの長さ$x$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACの長さが$4\sqrt{3}$、辺ABの長さが$3\sqrt{6}$、角Aが45°であるとき、辺BCの長さ$x$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$x$を求める。

余弦定理は、三角形ABCにおいて、角Aの対辺の長さ$a$、角Bの対辺の長さ$b$、角Cの対辺の長さ$c$とするとき、次の式で表される。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

この問題では、$a = x$, $b = 4\sqrt{3}$, $c = 3\sqrt{6}$, $A = 45^\circ$であるから、余弦定理より、

$x^2 = (4\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6} \cos 45^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$x^2 = 16 \cdot 3 + 9 \cdot 6 - 2 \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x^2 = 48 + 54 - 12 \sqrt{36}$

$x^2 = 102 - 12 \cdot 6$

$x^2 = 102 - 72$

$x^2 = 30$

$x = \sqrt{30}$

$x$は辺の長さなので、$x>0$。

3. 最終的な答え

$\sqrt{30}$