三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 8:7:3$ が成り立つとき、角Bの値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 8:7:3$ が成り立つとき、角Bの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

したがって、

$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$

$\sin A : \sin B : \sin C = a:b:c = 8:7:3$

したがって、a=8k, b=7k, c=3k (k>0)とおく。

余弦定理より、

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$\cos B = \frac{(3k)^2 + (8k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(8k)} = \frac{9k^2 + 64k^2 - 49k^2}{48k^2} = \frac{24k^2}{48k^2} = \frac{1}{2}$

$0 < B < \pi$ より、 $B = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$B = \frac{\pi}{3}$ (または 60度)