三角形ABCにおいて、辺aの長さが$\sqrt{2}$、辺cの長さが$\sqrt{3}+1$、角Bの大きさが$45^\circ$であるとき、残りの辺の長さbと角A、角Cの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺aの長さが$\sqrt{2}$、辺cの長さが$\sqrt{3}+1$、角Bの大きさが$45^\circ$であるとき、残りの辺の長さbと角A、角Cの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて辺bの長さを求める。余弦定理は以下の通りである。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

与えられた値を代入すると、

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3}+1)^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1) \cos{45^\circ}$

$\cos{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$だから、

$b^2 = 2 + (3 + 2\sqrt{3} + 1) - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$b^2 = 2 + 4 + 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3}+1)$

$b^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2$

$b^2 = 4$

$b = 2$

(2) 正弦定理を用いて角Cの大きさを求める。正弦定理は以下の通りである。

$\frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}}$

$\sin{C} = \frac{c\sin{B}}{b}$

与えられた値を代入すると、

$\sin{C} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sin{45^\circ}}{2}$

$\sin{C} = \frac{(\sqrt{3}+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin{75^\circ} = \sin{(45^\circ + 30^\circ)} = \sin{45^\circ}\cos{30^\circ} + \cos{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

したがって、$C = 75^\circ$

(3) 三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、角Aの大きさは

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$

3. 最終的な答え

b = 2

A = $60^\circ$

C = $75^\circ$