問題文は、三角形ABCにおいて、BD:DC = 7:8であり、点B, Cから直線ADに下ろした垂線の足をそれぞれH1, H2とし、直線BH1, CH2に関して点Dと対称な点をそれぞれE1, E2とする。このとき、ADの長さを求めるために、余弦定理を用いてADに関する二次方程式を導き、それを解いたときに得られる2つの解のうち1つが何を意味するかを考察する問題です。空欄「ヌネ」「ノハ」「サシス」「テト」「ヒ」「ト」「フ」を埋める必要があります。

1. 問題の内容

問題文は、三角形ABCにおいて、BD:DC = 7:8であり、点B, Cから直線ADに下ろした垂線の足をそれぞれH1, H2とし、直線BH1, CH2に関して点Dと対称な点をそれぞれE1, E2とする。このとき、ADの長さを求めるために、余弦定理を用いてADに関する二次方程式を導き、それを解いたときに得られる2つの解のうち1つが何を意味するかを考察する問題です。空欄「ヌネ」「ノハ」「サシス」「テト」「ヒ」「ト」「フ」を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

問題文より、BD:DC = 7:8である。したがって、BDはBCの7/(7+8) = 7/15倍である。図からBC = 15であるから、BD = 7となる。よって、ヌネ = 7, ノハ = 1となる。

(2) ∠BAD = ∠BAC/2である。

問題文より、BDに7を代入し、∠BAD=∠BAC/2を代入するとあるので、サシス=1、キ = 2となる。

(3) 二次方程式の解を求める。

AD = xとすると、xに関する二次方程式は次の通りである。

$x^2 - (14 \cos{(\angle BAD)})x + 49 - BD^2 = 0$

$x^2 - (14 \cos{(\frac{\angle BAC}{2})})x + 49 - 7^2 = 0$

$x^2 - (14 \cos{(\frac{\angle BAC}{2})})x = 0$

この二次方程式を解くと、x = 0または $x = 14 \cos{(\frac{\angle BAC}{2})}$となる。

しかし、AD = x > 0 であるため、x=0は解ではない。

したがって、残りの解はADの長さを表す。

このとき、 $x = 14 \cos{(\frac{\angle BAC}{2})}$を計算すると、問題文の図の状況から、ADは線分$AE_1$を表す。

3. 最終的な答え

ヌネ= 7, ノハ = 1

サシス= 1、キ = 2

テト= 0

ヒ = 0

ト = (0) AE1

フ = AE1