台形ABCDにおいて、AB = 4 cm, AD = 2 cm, BC = 6 cmである。点P, Qは点Bを同時に出発し、それぞれ秒速1 cmで移動する。点Pは辺BA上をAまで移動し、その後、AD上をDまで移動する。点Qは辺BC上をCまで移動する。点P, Qが出発してから$x$秒後の三角形PBQの面積を$y$ cm$^2$とする。以下の問いに答えよ。 (1) 点Pが辺BA上を動くときと、辺AD上を動くときについて、$y$を$x$の式で表し、$x$の変域を求めよ。 (2) $x$と$y$の関係をグラフで表せ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB = 4 cm, AD = 2 cm, BC = 6 cmである。点P, Qは点Bを同時に出発し、それぞれ秒速1 cmで移動する。点Pは辺BA上をAまで移動し、その後、AD上をDまで移動する。点Qは辺BC上をCまで移動する。点P, Qが出発してから$x$秒後の三角形PBQの面積を$y$ cm$^2$とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点Pが辺BA上を動くときと、辺AD上を動くときについて、$y$を$x$の式で表し、$x$の変域を求めよ。

(2) $x$と$y$の関係をグラフで表せ。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 点Pが辺BA上を動くとき

PはBからAに向かって移動するので、$0 \le x \le 4$である。

このとき、BP = $x$ cm, BQ = $x$ cmである。

三角形PBQの面積は

$y = \frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$

したがって、$y = \frac{1}{2}x^2$。

$x$の変域は$0 \le x \le 4$。

(ii) 点Pが辺AD上を動くとき

PはAからDに向かって移動するので、$4 \le x \le 6$である。

このとき、BQ = $x$ cmである。

三角形PBQの面積は

$y = \frac{1}{2} \times AB \times BQ = \frac{1}{2} \times 4 \times x = 2x$

したがって、$y = 2x$。

$x$の変域は$4 \le x \le 6$。

(2)

(i) $0 \le x \le 4$のとき、$y = \frac{1}{2}x^2$。

$x = 0$のとき、$y = 0$。

$x = 1$のとき、$y = \frac{1}{2}$。

$x = 2$のとき、$y = 2$。

$x = 3$のとき、$y = \frac{9}{2} = 4.5$。

$x = 4$のとき、$y = 8$。

グラフは放物線の一部となる。

(ii) $4 \le x \le 6$のとき、$y = 2x$。

$x = 4$のとき、$y = 8$。

$x = 5$のとき、$y = 10$。

$x = 6$のとき、$y = 12$。

グラフは直線となる。

3. 最終的な答え

(1)

(i) 点Pが辺BA上を動くとき

式: $y = \frac{1}{2}x^2$

$x$の変域: $0 \le x \le 4$

(ii) 点Pが辺AD上を動くとき

式: $y = 2x$

$x$の変域: $4 \le x \le 6$

(2) グラフは添付のグラフ用紙に上記を参考に描いてください。