円 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$ 上の点 $A(4, 2)$ における接線を $l$ とする。 (1) 点 $A$ と円の中心 $C$ を通る直線の傾きを求める。 (2) 接線 $l$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$ 上の点 $A(4, 2)$ における接線を $l$ とする。

(1) 点 $A$ と円の中心 $C$ を通る直線の傾きを求める。

(2) 接線 $l$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$ より、円の中心 $C$ は $(1, -2)$ である。

点 $A(4, 2)$ と点 $C(1, -2)$ を通る直線の傾き $m$ は、

$$m = \frac{2 - (-2)}{4 - 1} = \frac{4}{3}$$

(2) 接線 $l$ は、円の中心 $C(1, -2)$ と点 $A(4, 2)$ を通る直線に垂直である。

(1) で求めた直線の傾きは $\frac{4}{3}$ なので、接線 $l$ の傾き $m'$ は、

$$m' = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$

接線 $l$ は点 $A(4, 2)$ を通るので、その方程式は

$$y - 2 = -\frac{3}{4}(x - 4)$$

$$y = -\frac{3}{4}x + 3 + 2$$

$$y = -\frac{3}{4}x + 5$$

両辺に4をかけて

$$4y = -3x + 20$$

$$3x + 4y - 20 = 0$$

3. 最終的な答え

(1) 点 $A$ と円の中心 $C$ を通る直線の傾き: $\frac{4}{3}$

(2) 接線 $l$ の方程式: $3x + 4y - 20 = 0$