半径 $r$ の円柱を、底面の直径ABを通り、底面と$\frac{\pi}{3}$の角をなす平面で切断したとき、底面と平面の間の部分の体積 $V$ を求める問題です。ただし、円柱の高さは $r$ よりも十分に大きいものとします。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円柱を、底面の直径ABを通り、底面と$\frac{\pi}{3}$の角をなす平面で切断したとき、底面と平面の間の部分の体積 $V$ を求める問題です。ただし、円柱の高さは $r$ よりも十分に大きいものとします。

2. 解き方の手順

体積 $V$ を求めるために積分を用います。底面の直径ABをx軸とし、それと垂直な方向をy軸とします。すると、切り口の平面の高さ $z$ は $x$ の関数として表されます。

まず、x軸上の点 $x$ における円柱の断面を考えます。断面は幅 $dy$ の長方形であり、その高さは $z(x, y)$ で与えられます。問題文より、平面は底面と$\frac{\pi}{3}$の角をなしているので、$z(x) = \tan(\frac{\pi}{3}) \times |x-r| = \sqrt{3}|x-r|$ となります。

ここで座標系を定めるため、底面の中心を原点とする。またx軸を直径ABに沿って取り、y軸をそれに垂直な方向にとる。すると$z(x) = \sqrt{3}r + \sqrt{3}x$と表せる。

底面の円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$です。

$V = \int_{-r}^{r} (\int_{-\sqrt{r^2 - x^2}}^{\sqrt{r^2 - x^2}} z(x) dy) dx = \int_{-r}^{r} (\int_{-\sqrt{r^2 - x^2}}^{\sqrt{r^2 - x^2}} (\sqrt{3}r + \sqrt{3}x) dy) dx$

$V = \int_{-r}^{r} (\sqrt{3}r + \sqrt{3}x) (\int_{-\sqrt{r^2 - x^2}}^{\sqrt{r^2 - x^2}} dy) dx = \int_{-r}^{r} (\sqrt{3}r + \sqrt{3}x) (2\sqrt{r^2 - x^2}) dx$

$V = \int_{-r}^{r} 2\sqrt{3}r \sqrt{r^2 - x^2} dx + \int_{-r}^{r} 2\sqrt{3}x \sqrt{r^2 - x^2} dx$

第二項は奇関数なので積分は0になります。

$V = 2\sqrt{3}r \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx$

$\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx$ は半径 $r$ の半円の面積を表すので、$\frac{1}{2} \pi r^2$ となります。

したがって、

$V = 2\sqrt{3}r \cdot \frac{1}{2} \pi r^2 = \sqrt{3} \pi r^3$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} \pi r^3$