問題は、線分BDと線分DCの比が7:8であることから、線分ADの長さを求める問題です。三角形ABDに余弦定理を適用し、ADに関する二次方程式を導き、その解の一つがADの長さを表さない場合があることを考察します。そして、ADの長さではない解が、図1で与えられた図形上のどの線分の長さを表しているかを問うています。

1. 問題の内容

問題は、線分BDと線分DCの比が7:8であることから、線分ADの長さを求める問題です。三角形ABDに余弦定理を適用し、ADに関する二次方程式を導き、その解の一つがADの長さを表さない場合があることを考察します。そして、ADの長さではない解が、図1で与えられた図形上のどの線分の長さを表しているかを問うています。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。$BD:DC = 7:8$ より、$BD = \frac{7}{15}BC$ です。ただし、$BC$ の長さが与えられていないため、$BD$ を具体的に求めることはここではできません。問題文中の空欄「ヌネ/ノハ」は $\frac{7}{15}$ となります。

(2) 二次方程式を解く。

二次方程式 $x^2 - (14 \cos \angle BAD)x + 49 - BD^2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ なので、

$x = \frac{14 \cos \angle BAD \pm \sqrt{(14 \cos \angle BAD)^2 - 4(49 - BD^2)}}{2}$

$x = 7 \cos \angle BAD \pm \sqrt{(7 \cos \angle BAD)^2 - (49 - BD^2)}$

$x = 7 \cos \angle BAD \pm \sqrt{49 \cos^2 \angle BAD - 49 + BD^2}$

$x = 7 \cos \angle BAD \pm \sqrt{BD^2 - 49(1-\cos^2 \angle BAD)}$

$x = 7 \cos \angle BAD \pm \sqrt{BD^2 - 49 \sin^2 \angle BAD}$

問題文の指示に従い、$BD = \frac{\text{ヌネ}}{\text{ノハ}}$ と $\angle BAD = \frac{\text{サシス}}{2}$ を代入すると、二次方程式の解は、$x = \frac{\text{チツ} \pm \sqrt{\text{テト}}}{\text{ヒ}}$ の形になることが予想されます。

しかし、このままでは具体的な値がわからないため、ADではない方の解がどの線分の長さを表すかを考えることにします。

(3) ADではない方の解が表す線分を考察する。

二次方程式の解が2つ得られる場合、一つはADの長さですが、もう一つは異なる線分の長さを表しています。図1において、$H_1$、$H_2$はそれぞれ点B、点Cから直線ADに下ろした垂線の足であり、$E_1$、$E_2$はそれぞれ点Dに関して直線$BH_1$、直線$CH_2$と対称な点です。

$AE_1$に着目すると、$\triangle ABE_1$は$\triangle ABD$を、$BH_1$に関して折り返したものになります。同様に、$AE_2$に着目すると、$\triangle ACE_2$は$\triangle ACD$を、$CH_2$に関して折り返したものになります。

$AE_1 = \sqrt{AB^2 + BE_1^2 - 2AB\cdot BE_1 \cos\angle ABE_1} = \sqrt{7^2 + BD^2 - 2\cdot 7\cdot BD \cos\angle ABD}$

ここで、$x$の解のうち小さい方が$AE_1$を表すと仮定します。

すると、$7\cos{\angle BAD} - \sqrt{BD^2 - 49 \sin^2{\angle BAD}} = AE_1$ となります。

(4) 解答群から答えを選ぶ。

選択肢の中から適切なものを選ぶと、ADではない方の解は$AE_1$であると考えられます。

したがって、「フ」の答えは

0. AE1です。

3. 最終的な答え

ヌネ/ノハ = 7/15

フ = 0