(1) 放物線 $y = x^2$ 上の点A, Bを通る直線ABの式と、原点O, 点A, Bでできる三角形AOBの面積を求める。ただし、点Aのx座標は-1、点Bのx座標は3である。 (2) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点A, Bを通る直線ABの式と、原点O, 点A, Bでできる三角形AOBの面積を求める。ただし、点Aのx座標は3、点Bのy座標は12である。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2$ 上の点A, Bを通る直線ABの式と、原点O, 点A, Bでできる三角形AOBの面積を求める。ただし、点Aのx座標は-1、点Bのx座標は3である。

(2) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点A, Bを通る直線ABの式と、原点O, 点A, Bでできる三角形AOBの面積を求める。ただし、点Aのx座標は3、点Bのy座標は12である。

2. 解き方の手順

(1)

点Aの座標は、x = -1を$y=x^2$に代入して、A(-1, 1)。

点Bの座標は、x = 3を$y=x^2$に代入して、B(3, 9)。

直線ABの傾きは、$\frac{9-1}{3-(-1)} = \frac{8}{4} = 2$。

直線ABの式を$y = 2x + b$とおき、点A(-1, 1)を通ることから、

$1 = 2(-1) + b$ より、$b = 3$。

よって、直線ABの式は、$y = 2x + 3$。

三角形AOBの面積は、原点Oから直線ABまでの距離と、線分ABの長さを使って計算することもできるが、ここではAOBを2つの三角形に分割して考える。

点A(-1, 1)からx軸に垂線を下ろし、その交点をCとすると、C(-1, 0)。

点B(3, 9)からx軸に垂線を下ろし、その交点をDとすると、D(3, 0)。

三角形AOBの面積は、三角形AOCの面積と、三角形BODの面積、台形ACDBの面積を用いて計算できる。

三角形AOCの面積は、$\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。

三角形BODの面積は、$\frac{1}{2} \times 3 \times 9 = \frac{27}{2}$。

台形ACDBの面積は、$\frac{1}{2} \times (1 + 9) \times (3 - (-1)) = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$。

三角形AOBの面積は、$\frac{1}{2} |(-1) \times 9 - 1 \times 3| = \frac{1}{2} |-9 - 3| = \frac{1}{2} |-12| = 6$。

(2)

点Aの座標は、x = 3を$y = \frac{1}{3}x^2$に代入して、A(3, 3)。

点Bのy座標は12であるから、$12 = \frac{1}{3}x^2$より、$x^2 = 36$。点Bのx座標は正なので、$x = 6$。よってB(6, 12)。

直線ABの傾きは、$\frac{12-3}{6-3} = \frac{9}{3} = 3$。

直線ABの式を$y = 3x + b$とおき、点A(3, 3)を通ることから、$3 = 3(3) + b$ より、$b = -6$。

よって、直線ABの式は、$y = 3x - 6$。

三角形AOBの面積は、$\frac{1}{2} |3 \times 12 - 3 \times 6| = \frac{1}{2} |36 - 18| = \frac{1}{2} |18| = 9$。

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの式: $y = 2x + 3$, △AOBの面積: 6

(2) 直線ABの式: $y = 3x - 6$, △AOBの面積: 9