図に示された四角形の面積を求めよ。図は、底面の対角線がそれぞれ3cmと4cmである菱形を底面とし、上下に同じ高さの三角錐を組み合わせた立体である。求めたい面積は、この立体の表面積である。

1. 問題の内容

図に示された四角形の面積を求めよ。図は、底面の対角線がそれぞれ3cmと4cmである菱形を底面とし、上下に同じ高さの三角錐を組み合わせた立体である。求めたい面積は、この立体の表面積である。

2. 解き方の手順

この立体は、上下に同じ高さの三角錐を組み合わせたものであり、表面積は4つの合同な二等辺三角形の面積の合計となる。

まず、二等辺三角形の高さを求める。

底面の菱形の対角線はそれぞれ3cmと4cmなので、交点はそれぞれを二等分する。

したがって、底面の菱形の一辺の長さは、三平方の定理より、

$\sqrt{(3/2)^2 + (4/2)^2} = \sqrt{9/4 + 16/4} = \sqrt{25/4} = 5/2 = 2.5$ cmとなる。

次に、二等辺三角形の高さを求める。

二等辺三角形の高さは、底面の対角線3cmの半分（1.5cm）と、三角錐の高さ4cmを二辺とする直角三角形の斜辺となる。

したがって、二等辺三角形の高さは、三平方の定理より、

$\sqrt{1.5^2 + 4^2} = \sqrt{2.25 + 16} = \sqrt{18.25} = \sqrt{73/4} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ cmとなる。

二等辺三角形の面積は、底辺2.5cm、高さ$\frac{\sqrt{73}}{2}$cmなので、

$\frac{1}{2} \times 2.5 \times \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{2.5\sqrt{73}}{4} = \frac{5\sqrt{73}}{8}$ $cm^2$となる。

表面積は、この二等辺三角形の面積の4倍なので、

$4 \times \frac{5\sqrt{73}}{8} = \frac{5\sqrt{73}}{2}$ $cm^2$となる。

$\sqrt{73} \approx 8.544$ なので、$\frac{5\sqrt{73}}{2} \approx \frac{5 \times 8.544}{2} = \frac{42.72}{2} = 21.36$

菱形の面積は、$3 \times 4 / 2 \times 2 = 12$ $cm^2$

菱形の1辺の長さを$a$とすると，$a = \sqrt{(3/2)^2 + (4/2)^2} = \sqrt{9/4 + 4} = \sqrt{25/4} = 5/2$

二等辺三角形の高さを$h$とすると、$h = \sqrt{4^2 + (3/2)^2} = \sqrt{16 + 9/4} = \sqrt{73/4} = \sqrt{73}/2$

二等辺三角形の面積は、$5/2 \times \sqrt{73}/2 / 2 \times 2 = (5\sqrt{73})/8$

四角錐の表面積は、$4 \times (5/2 \times \sqrt{73}/2 / 2 ) = (5/2)*\sqrt{73}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{73}}{2}$ $cm^2$