放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-6と3である。x軸上に点Qを取り、Qを通りy軸と平行な直線が三角形OABの面積を2等分する時、点Qのx座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-6と3である。x軸上に点Qを取り、Qを通りy軸と平行な直線が三角形OABの面積を2等分する時、点Qのx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

Aのx座標が-6なので、y座標は $y = \frac{1}{3}(-6)^2 = \frac{1}{3}(36) = 12$ より、A(-6, 12)。

Bのx座標が3なので、y座標は $y = \frac{1}{3}(3)^2 = \frac{1}{3}(9) = 3$ より、B(3, 3)。

(2) 直線ABの式を求める。

直線ABの傾きは $\frac{3-12}{3-(-6)} = \frac{-9}{9} = -1$。

直線ABの式を $y = -x + b$ とおく。

B(3, 3)を通るので $3 = -3 + b$ より $b = 6$。

よって直線ABの式は $y = -x + 6$。

(3) 直線OAの式を求める。

直線OAの傾きは $\frac{12-0}{-6-0} = -2$。

よって直線OAの式は $y = -2x$。

(4) 点Qのx座標を$t$とすると、$-6 < t < 0$。

点Sは直線AB上の点で、x座標がtなので、S(t, -t+6)。

点Tは直線OA上の点で、x座標がtなので、T(t, -2t)。

(5) 三角形ATSの面積を求める。

AT, ASをそれぞれ底辺と考えて、高さを点Qとすると、

ATSの面積は $\frac{1}{2} |(-t+6)-(-2t)| \times |t| = \frac{1}{2} |t+6| \times |t| = \frac{1}{2}(t+6)^2$。

(6) 三角形OABの面積を求める。

OABの面積 = OBCの面積 + OACの面積 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 + \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 9 + 36 = 45$

OABの面積を2等分するので、ATSの面積は $\frac{45}{2}$。

(7) 方程式を解く。

$\frac{1}{2} (t+6)^2 = \frac{45}{2}$

$(t+6)^2 = 45 = 9 \times 5$

$t+6 = \pm 3\sqrt{5}$

$t = -6 \pm 3\sqrt{5}$

$-6 < t < 0$ より $t = -6 + 3\sqrt{5}$。

(別解) 図を見ると、三角形OAB = 三角形OBC + 三角形OAC = 27/2

したがって、△ATS = (1/2)△OAB = 27/2 であれば良いので、

1/2 (t+6)^2 = 27/2

(t+6)^2 = 27

t+6 = $\pm 3\sqrt{3}$

t = -6 ± $3\sqrt{3}$

-6 < t < 0 より、t = -6 + $3\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

-6 + 3√3