2点 $A(-1, 7)$ と $B(4, -3)$ を結ぶ線分 $AB$ について、次の点の座標を求めます。 (i) 線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点の座標 (ii) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点の座標

1. 問題の内容

2点 $A(-1, 7)$ と $B(4, -3)$ を結ぶ線分 $AB$ について、次の点の座標を求めます。

(i) 線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点の座標

(ii) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点の座標

2. 解き方の手順

(i) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の座標は、

$\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m+n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m+n} \right)$

で求められます。ここで、$A(x_1, y_1) = A(-1, 7)$、$B(x_2, y_2) = B(4, -3)$、$m = 2$、$n = 3$ です。

内分点の $x$ 座標は、

$\frac{3(-1) + 2(4)}{2+3} = \frac{-3 + 8}{5} = \frac{5}{5} = 1$

内分点の $y$ 座標は、

$\frac{3(7) + 2(-3)}{2+3} = \frac{21 - 6}{5} = \frac{15}{5} = 3$

したがって、内分点の座標は $(1, 3)$ です。

(ii) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、

$\left( \frac{-n x_1 + m x_2}{m-n}, \frac{-n y_1 + m y_2}{m-n} \right)$

で求められます。ここで、$A(x_1, y_1) = A(-1, 7)$、$B(x_2, y_2) = B(4, -3)$、$m = 2$、$n = 3$ です。

外分点の $x$ 座標は、

$\frac{-3(-1) + 2(4)}{2-3} = \frac{3 + 8}{-1} = \frac{11}{-1} = -11$

外分点の $y$ 座標は、

$\frac{-3(7) + 2(-3)}{2-3} = \frac{-21 - 6}{-1} = \frac{-27}{-1} = 27$

したがって、外分点の座標は $(-11, 27)$ です。

3. 最終的な答え

(i) 内分点の座標: $(1, 3)$

(ii) 外分点の座標: $(-11, 27)$