三角形ABCの内心をIとする。 (1) 図に示された角$x$の大きさを求める。 (2) 直線BIと辺ACの交点をEとする。AB=8, BC=7, AC=4であるとき、BI:IEを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内心をIとする。

(1) 図に示された角$x$の大きさを求める。

(2) 直線BIと辺ACの交点をEとする。AB=8, BC=7, AC=4であるとき、BI:IEを求める。

2. 解き方の手順

(1) Iは内心なので、角の二等分線の交点である。

したがって、∠BAI = ∠CAI = 50°/2 = 25°、∠BCI = ∠ACI = 40°/2 = 20°となる。

三角形ABCの内角の和は180°なので、∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 50° - 40° = 90°となる。

したがって、∠IBC = ∠ABC/2 = 90°/2 = 45°となる。

三角形IBCの内角の和は180°なので、∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠BCI = 180° - 45° - 20° = 115°となる。

したがって、x = 115°

(2) 角の二等分線の定理より、BEは∠ABCの二等分線なので、

$AI:IC=BA:BC$

$AE:EC = AB:BC$

$AE:EC = 8:7$

$AE + EC = AC = 4$だから

$AE = \frac{8}{8+7} \times 4 = \frac{32}{15}$

BIは角の二等分線なので、

BI:IE=AB:AE

$BI:IE = BA:EA$

$BI:IE = 8: (\frac{32}{15})$

$BI:IE = 8 \times \frac{15}{32} = \frac{15}{4}$

よって、$BI:IE = 15:4$

3. 最終的な答え

(1) x = 115°

(2) BI:IE = 15:4