面積が2である$\triangle OAB$において、辺$AB$を$\alpha : (1-\alpha)$に内分する点を$P$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$Q$とする。線分$OP$と$AQ$の交点を$D$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\angle AOB = \theta$として、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$および$\alpha$を用いて表す。 (2) $\vec{OD}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$および$\alpha$を用いて表す。 (3) $|\vec{b}|=2$, $\angle AOP = \frac{1}{2}\theta$, $\cos \theta = \frac{4}{5}$とする。このとき$\alpha$の値を求める。 (4) (3)の条件のもとで、$\triangle OAD$の面積を求める。

1. 問題の内容

面積が2である$\triangle OAB$において、辺$AB$を$\alpha : (1-\alpha)$に内分する点を$P$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$Q$とする。線分$OP$と$AQ$の交点を$D$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\angle AOB = \theta$として、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$および$\alpha$を用いて表す。

(2) $\vec{OD}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$および$\alpha$を用いて表す。

(3) $|\vec{b}|=2$, $\angle AOP = \frac{1}{2}\theta$, $\cos \theta = \frac{4}{5}$とする。このとき$\alpha$の値を求める。

(4) (3)の条件のもとで、$\triangle OAD$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点$P$は辺$AB$を$\alpha : (1-\alpha)$に内分する点なので、

$\vec{OP} = (1-\alpha)\vec{OA} + \alpha\vec{OB}$

$\vec{OP} = (1-\alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b}$

(2) 点$D$は線分$OP$上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{OD} = k\vec{OP} = k(1-\alpha)\vec{a} + k\alpha\vec{b}$と表せる。

また、点$D$は線分$AQ$上にあるので、実数$l$を用いて$\vec{OD} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OQ}$と表せる。

点$Q$は辺$OB$を$1:2$に内分するので、$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$

したがって、$\vec{OD} = (1-l)\vec{a} + \frac{l}{3}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$k(1-\alpha) = 1-l$

$k\alpha = \frac{l}{3}$

この連立方程式を解く。

$l = 3k\alpha$を$k(1-\alpha) = 1-l$に代入すると、

$k(1-\alpha) = 1-3k\alpha$

$k - k\alpha = 1 - 3k\alpha$

$k + 2k\alpha = 1$

$k(1+2\alpha) = 1$

$k = \frac{1}{1+2\alpha}$

よって、

$\vec{OD} = \frac{1}{1+2\alpha}(1-\alpha)\vec{a} + \frac{1}{1+2\alpha}\alpha\vec{b}$

$\vec{OD} = \frac{1-\alpha}{1+2\alpha}\vec{a} + \frac{\alpha}{1+2\alpha}\vec{b}$

(3) $|\vec{b}| = 2$, $\angle AOP = \frac{1}{2}\theta$, $\cos \theta = \frac{4}{5}$

$\triangle OAB$の面積が2であることから、

$\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = 2$

$\frac{1}{2}|\vec{a}|\cdot 2 \cdot \sqrt{1-\cos^2\theta} = 2$

$|\vec{a}|\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2} = 2$

$|\vec{a}|\sqrt{1-\frac{16}{25}} = 2$

$|\vec{a}|\sqrt{\frac{9}{25}} = 2$

$|\vec{a}|\frac{3}{5} = 2$

$|\vec{a}| = \frac{10}{3}$

$\angle AOP = \frac{1}{2}\theta$より、$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}-1$

$\frac{4}{5} = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$

$\frac{9}{5} = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{9}{10}$

$\cos\frac{\theta}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ ($\because \frac{\theta}{2}$は鋭角)

したがって、

$\vec{a}\cdot\vec{p} = |\vec{a}||\vec{p}|\cos\frac{\theta}{2}$

$\vec{a}\cdot ((1-\alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b}) = \frac{10}{3}|(1-\alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b}|\frac{3}{\sqrt{10}}$

$(1-\alpha)|\vec{a}|^2 + \alpha(\vec{a}\cdot\vec{b}) = \sqrt{10}|(1-\alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b}|$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \frac{10}{3}\cdot 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{3}$

$(1-\alpha)(\frac{10}{3})^2 + \alpha\frac{16}{3} = \sqrt{10}|(1-\alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b}|$

$\frac{100}{9}(1-\alpha) + \frac{16}{3}\alpha = \frac{100}{9} - \frac{100}{9}\alpha + \frac{48}{9}\alpha = \frac{100-52\alpha}{9}$

$\vec{OP}^2 = ((1-\alpha)\vec{a}+\alpha\vec{b})^2 = (1-\alpha)^2|\vec{a}|^2 + 2(1-\alpha)\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b}) + \alpha^2|\vec{b}|^2$

$= (1-\alpha)^2(\frac{10}{3})^2 + 2(1-\alpha)\alpha\frac{16}{3} + \alpha^2(2)^2$

$= \frac{100}{9}(1-2\alpha+\alpha^2) + \frac{32}{3}(\alpha-\alpha^2) + 4\alpha^2$

$= \frac{100}{9} - \frac{200}{9}\alpha + \frac{100}{9}\alpha^2 + \frac{96}{9}\alpha - \frac{96}{9}\alpha^2 + \frac{36}{9}\alpha^2 = \frac{100}{9} - \frac{104}{9}\alpha + \frac{40}{9}\alpha^2$

$(\frac{100-52\alpha}{9})^2 = 10(\frac{100}{9} - \frac{104}{9}\alpha + \frac{40}{9}\alpha^2)$

$(100-52\alpha)^2 = 90(\frac{100}{9} - \frac{104}{9}\alpha + \frac{40}{9}\alpha^2) \times 9 = 10000 - 10400\alpha + 2704\alpha^2=1000(10-10.4\alpha+4\alpha^2)=10000-10400\alpha+4000\alpha^2$

$2704\alpha^2=4000\alpha^2$

$1296\alpha^2 = 0$

$\alpha = 0$ は $0<\alpha <1$に反するので、これは違う。

点$D$が$OP$上にあるので、$\vec{OD} = k\vec{OP} = k(1-\alpha)\vec{a} + k\alpha\vec{b}$

点$D$が$AQ$上にあるので、$\vec{OD} = s\vec{OA}+(1-s)\vec{OQ} = s\vec{a}+\frac{(1-s)}{3}\vec{b}$

$k(1-\alpha) = s$

$k\alpha = \frac{1-s}{3}$

$\alpha = \frac{1-s}{3k}$

$k(1-\frac{1-s}{3k}) = s$

$k-\frac{1-s}{3} = s$

$3k-1+s=3s$

$3k=1+2s$

$k(1+2\alpha) = 1$なので

$k=\frac{1}{1+2\alpha} \rightarrow 3k = \frac{3}{1+2\alpha}$

$3/(1+2\alpha) = 1+2s$

$\frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{1-s}{3s}$

$3\alpha s = (1-s)(1-\alpha) = 1-\alpha-s+s\alpha$

$s = \frac{1-\alpha}{1+2\alpha}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = (1-\alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b}$

(2) $\vec{OD} = \frac{1-\alpha}{1+2\alpha}\vec{a} + \frac{\alpha}{1+2\alpha}\vec{b}$

(3) $\alpha = \frac{1}{2}$

(4) $\triangle OAD = \frac{1}{3}$