三角形ABCの3辺の長さが与えられたとき、角Aが鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを調べる問題です。具体的には、以下の3つのケースについてそれぞれ角Aの種類を判定します。 (1) $a=8$, $b=3$, $c=6$ (2) $a=7$, $b=4\sqrt{2}$, $c=3\sqrt{3}$ (3) $a=4$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{11}$

1. 問題の内容

三角形ABCの3辺の長さが与えられたとき、角Aが鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを調べる問題です。具体的には、以下の3つのケースについてそれぞれ角Aの種類を判定します。

(1) $a=8$, $b=3$, $c=6$

(2) $a=7$, $b=4\sqrt{2}$, $c=3\sqrt{3}$

(3) $a=4$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{11}$

2. 解き方の手順

余弦定理を使って角Aの余弦($\cos A$)を計算します。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

これを変形すると、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

得られた$\cos A$の値によって、角Aの種類を判定します。

- $\cos A > 0$ ならば、角Aは鋭角です。

- $\cos A = 0$ ならば、角Aは直角です。

- $\cos A < 0$ ならば、角Aは鈍角です。

(1) $a=8$, $b=3$, $c=6$の場合

$\cos A = \frac{3^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{9 + 36 - 64}{36} = \frac{-19}{36} < 0$

よって、角Aは鈍角です。

(2) $a=7$, $b=4\sqrt{2}$, $c=3\sqrt{3}$の場合

$\cos A = \frac{(4\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 7^2}{2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{32 + 27 - 49}{24\sqrt{6}} = \frac{10}{24\sqrt{6}} = \frac{5}{12\sqrt{6}} > 0$

よって、角Aは鋭角です。

(3) $a=4$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{11}$の場合

$\cos A = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{11})^2 - 4^2}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{11}} = \frac{5 + 11 - 16}{2\sqrt{55}} = \frac{0}{2\sqrt{55}} = 0$

よって、角Aは直角です。

3. 最終的な答え

(1) 鈍角

(2) 鋭角

(3) 直角