$\triangle ABC$において、$AB=5$, $CA=3$, $\angle BAC = 60^\circ$である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$E$とするとき、$AE$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=5$, $CA=3$, $\angle BAC = 60^\circ$である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$E$とするとき、$AE$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$BC$の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$

$BC = \sqrt{19}$

次に、角の二等分線の性質より、$BE:EC = AB:AC = 5:3$となる。

よって、$BE = \frac{5}{5+3}BC = \frac{5}{8}\sqrt{19}$

次に、$\triangle ABE$に余弦定理を適用して、$AE$を求める。

$BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2AB \cdot AE \cos{30^\circ}$

$(\frac{5}{8}\sqrt{19})^2 = 5^2 + AE^2 - 2 \cdot 5 \cdot AE \cos{30^\circ}$

面積を利用する。

$\triangle ABC = \triangle ABE + \triangle ACE$

$\frac{1}{2} AB \cdot AC \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} AB \cdot AE \sin{30^\circ} + \frac{1}{2} AE \cdot AC \sin{30^\circ}$

$5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot AE \cdot \frac{1}{2} + AE \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$

$15\sqrt{3} = 5AE + 3AE$

$15\sqrt{3} = 8AE$

$AE = \frac{15\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$AE = \frac{15\sqrt{3}}{8}$

キク = 15, ケ = 3, コ = 8