与えられた三角関数の値を計算する問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) $\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ$ の値を求めよ。 (2) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 15^\circ \tan 75^\circ$ の値を求めよ。 (3) $\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。 (4) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、 (a) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。 (b) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を計算する問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) $\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ$ の値を求めよ。

(2) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 15^\circ \tan 75^\circ$ の値を求めよ。

(3) $\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

(4) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、

(a) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。

(b) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin 50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ$ であることを利用します。

$\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1$

(2)

$\tan 55^\circ = \tan(90^\circ - 35^\circ) = \frac{1}{\tan 35^\circ}$

$\tan 75^\circ = \tan(90^\circ - 15^\circ) = \frac{1}{\tan 15^\circ}$

$\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 15^\circ \tan 75^\circ = \tan 35^\circ \cdot \frac{1}{\tan 35^\circ} - \tan 15^\circ \cdot \frac{1}{\tan 15^\circ} = 1 - 1 = 0$

(3)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、

$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$

$\sin \theta = \frac{3}{5} > 0$ より、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ であるので、第一象限または第二象限の角です。

したがって、$\cos \theta$ は正または負の値をとります。

$\theta$ が第一象限の角の場合、$\cos \theta = \frac{4}{5}$, $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

$\theta$ が第二象限の角の場合、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$, $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

(4)

(a) $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$\frac{1}{9} = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$

(b) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{1}{3}\left(1 - \left(-\frac{4}{9}\right)\right) = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{4}{9}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{13}{9}\right) = \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) $\cos \theta = \frac{4}{5}$ のとき $\tan \theta = \frac{3}{4}$, $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき $\tan \theta = -\frac{3}{4}$

(4) (a) $-\frac{4}{9}$

(b) $\frac{13}{27}$