三角形ABCの内心をIとする。AIの延長と辺BCの交点をDとするとき、$AB = 8$, $AC = 6$, $BC = 7$である。このとき、$\frac{AI}{ID}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの内心をIとする。AIの延長と辺BCの交点をDとするとき、$AB = 8$, $AC = 6$, $BC = 7$である。このとき、$\frac{AI}{ID}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してBDとDCの長さを求める。

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 8:6 = 4:3$である。

$BD+DC = BC = 7$なので、$BD = \frac{4}{4+3} \times 7 = \frac{28}{7} = 4$, $DC = \frac{3}{7} \times 7 = 3$となる。

次に、三角形ABDにおいて、BIは角Bの二等分線であるから、角の二等分線の性質より、$AI:ID = BA:BD$となる。

よって、$\frac{AI}{ID} = \frac{AB}{BD} = \frac{8}{4} = 2$である。

3. 最終的な答え

$\frac{AI}{ID} = 2$