平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:3に内分する点をP、辺OAを1:2に内分する点をQ、対角線OBを5:1に内分する点をRとするとき、B, P, Q, Rのうち、一直線上にないものはどれかを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:3に内分する点をP、辺OAを1:2に内分する点をQ、対角線OBを5:1に内分する点をRとするとき、B, P, Q, Rのうち、一直線上にないものはどれかを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とおきます。

点Pは対角線ACを2:3に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OC}}{2+3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5}$

点Qは辺OAを1:2に内分するので、

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{a}$

点Rは対角線OBを5:1に内分するので、$\vec{OB}=\vec{a}+\vec{c}$より

$\vec{OR} = \frac{5\vec{OB}}{6} = \frac{5(\vec{a}+\vec{c})}{6} = \frac{5}{6}\vec{a} + \frac{5}{6}\vec{c}$

点Bの位置ベクトルは $\vec{OB} = \vec{a} + \vec{c}$です。

3点が一線上にある条件を考えます。

点B, P, Qが一線上にあるとき、実数$k$を用いて

$\vec{OP} - \vec{OB} = k(\vec{OQ} - \vec{OB})$

$\frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5} - (\vec{a} + \vec{c}) = k(\frac{1}{3}\vec{a} - (\vec{a} + \vec{c}))$

$\frac{-2\vec{a} - 3\vec{c}}{5} = k(\frac{-2}{3}\vec{a} - \vec{c})$

$\frac{-2}{5}\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{c} = \frac{-2k}{3}\vec{a} - k\vec{c}$

係数を比較して $\frac{-2}{5} = \frac{-2k}{3}$かつ$\frac{-3}{5} = -k$

$k = \frac{3}{5}$かつ$k = \frac{3}{5}$

よって、点B, P, Qは一直線上にある。

点B, P, Rが一線上にあるとき、実数$k$を用いて

$\vec{OP} - \vec{OB} = k(\vec{OR} - \vec{OB})$

$\frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5} - (\vec{a} + \vec{c}) = k(\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{5}{6}\vec{c} - (\vec{a} + \vec{c}))$

$\frac{-2\vec{a} - 3\vec{c}}{5} = k(\frac{-1}{6}\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{c})$

$\frac{-2}{5}\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{c} = \frac{-k}{6}\vec{a} - \frac{k}{6}\vec{c}$

係数を比較して $\frac{-2}{5} = \frac{-k}{6}$かつ$\frac{-3}{5} = \frac{-k}{6}$

$k = \frac{12}{5}$かつ$k = \frac{18}{5}$

これは矛盾するので、点B, P, Rは一直線上にない。

3. 最終的な答え

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