四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABCの重心Gの位置ベクトルを$\vec{g}$とし、線分DGを3:4に外分する点をPの位置ベクトルを$\vec{p}$とする。$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABCの重心Gの位置ベクトルを$\vec{g}$とし、線分DGを3:4に外分する点をPの位置ベクトルを$\vec{p}$とする。$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。重心の性質より、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

次に、線分DGを3:4に外分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{d}, \vec{g}$を用いて表す。外分の公式より、

$\vec{p} = \frac{-4\vec{d} + 3\vec{g}}{3 - 4} = \frac{-4\vec{d} + 3\vec{g}}{-1} = 4\vec{d} - 3\vec{g}$

$\vec{g}$を代入して、

$\vec{p} = 4\vec{d} - 3 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = 4\vec{d} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{p} = -\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + 4\vec{d}$

3. 最終的な答え

$-\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + 4\vec{d}$

選択肢３が正解