高さ150mのタワーTHを観測地点Pから見上げたときの模式図が与えられています。 (1) PH = 260m のとき、見上げる角度 $\theta$ に最も近いものを選択肢から選びます。 (2) PT = 250m のとき、見上げる角度 $\theta$ について、$\cos \theta$ の値を求めます。 (3) 見上げる角度 $\theta = 25^\circ$ のとき、観測地点からタワーまでの距離PHを求めます。

1. 問題の内容

高さ150mのタワーTHを観測地点Pから見上げたときの模式図が与えられています。

(1) PH = 260m のとき、見上げる角度 $\theta$ に最も近いものを選択肢から選びます。

(2) PT = 250m のとき、見上げる角度 $\theta$ について、$\cos \theta$ の値を求めます。

(3) 見上げる角度 $\theta = 25^\circ$ のとき、観測地点からタワーまでの距離PHを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \theta = \frac{TH}{PH} = \frac{150}{260} = \frac{15}{26} \approx 0.577$

選択肢の角度のタンジェントを考えると、

$\tan 15^\circ \approx 0.268$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73$

$\tan 75^\circ \approx 3.73$

$\theta$ に最も近い角度は $30^\circ$ です。

(2) $\cos \theta = \frac{PH}{PT}$

ピタゴラスの定理より $PT^2 = PH^2 + TH^2$ が成り立つので、$PH = \sqrt{PT^2 - TH^2} = \sqrt{250^2 - 150^2} = \sqrt{62500 - 22500} = \sqrt{40000} = 200$

$\cos \theta = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0.8$

(3) $\tan \theta = \frac{TH}{PH}$

$\theta = 25^\circ$ なので、$\tan 25^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} = \frac{0.42}{0.9} \approx 0.4667$

$PH = \frac{TH}{\tan 25^\circ} = \frac{150}{0.4667} \approx 321.43$

小数点以下を四捨五入すると $PH \approx 321$

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) $\cos \theta = 0.8$

(3) $PH \approx 321$