四面体$OABC$の各辺の長さが、$OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$で与えられている。このとき、 (1) $\triangle OAC$の面積を求めよ。 (2) 四面体$OABC$の体積を求めよ。

1. 問題の内容

四面体$OABC$の各辺の長さが、$OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$で与えられている。このとき、

(1) $\triangle OAC$の面積を求めよ。

(2) 四面体$OABC$の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAC$の面積を求める。ヘロンの公式を使う。

$s = \frac{OA + AC + OC}{2} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

ヘロンの公式より、$\triangle OAC$の面積$S$は

$S = \sqrt{s(s-OA)(s-AC)(s-OC)}$

しかし、今回はヘロンの公式を使うのは難しいので、余弦定理を用いて$\cos \angle AOC$を求める。

$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos \angle AOC$

$(2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos \angle AOC$

$8 = 10 + 6 - 2\sqrt{60} \cos \angle AOC$

$2\sqrt{60} \cos \angle AOC = 8$

$4\sqrt{15} \cos \angle AOC = 8$

$\cos \angle AOC = \frac{8}{4\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$

$\sin^2 \angle AOC = 1 - \cos^2 \angle AOC = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$

$\sin \angle AOC = \sqrt{\frac{11}{15}} = \frac{\sqrt{165}}{15}$

よって、$\triangle OAC$の面積は

$\frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{165}}{15} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{60} \cdot \frac{\sqrt{165}}{15} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{165}}{15} = \frac{\sqrt{15 \cdot 165}}{15} = \frac{\sqrt{15 \cdot 15 \cdot 11}}{15} = \frac{15\sqrt{11}}{15} = \sqrt{11}$

(2) 四面体$OABC$の体積を求める。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$とすると、四面体の体積$V$は

$V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

$OA^2 = |\vec{a}|^2 = 10$

$OB^2 = |\vec{b}|^2 = 5$

$OC^2 = |\vec{c}|^2 = 6$

$AB^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 + 5 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

$AC^2 = |\vec{a} - \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} = 10 + 6 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} = 8$

$2\vec{a} \cdot \vec{c} = 8$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$

$BC^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} = 5 + 6 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} = 5$

$2\vec{b} \cdot \vec{c} = 6$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 3$

$V = \frac{1}{6} \sqrt{\begin{vmatrix} |\vec{a}|^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & |\vec{b}|^2 & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{a} \cdot \vec{c} & \vec{b} \cdot \vec{c} & |\vec{c}|^2 \end{vmatrix}} = \frac{1}{6}\sqrt{\begin{vmatrix} 10 & 5 & 4 \\ 5 & 5 & 3 \\ 4 & 3 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{1}{6} \sqrt{10(30-9) - 5(30-12) + 4(15-20)} = \frac{1}{6} \sqrt{10(21) - 5(18) + 4(-5)} = \frac{1}{6} \sqrt{210 - 90 - 20} = \frac{1}{6} \sqrt{100} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle OAC$の面積は$\sqrt{11}$

(2) 四面体$OABC$の体積は$\frac{5}{3}$