図において、$\triangle ABC$と$\triangle CDE$は正三角形である。線分$AD$と線分$BE$の交点を$F$とする。 (1) $\triangle ADC$と$\triangle BEC$が合同であることを証明する。 (2) $\angle BFD$の大きさを求める。

## 問題8

1. 問題の内容

図において、$\triangle ABC$と$\triangle CDE$は正三角形である。線分$AD$と線分$BE$の交点を$F$とする。

(1) $\triangle ADC$と$\triangle BEC$が合同であることを証明する。

(2) $\angle BFD$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ADC$と$\triangle BEC$の合同を証明する。

* $\triangle ABC$と$\triangle CDE$が正三角形であることから、$AC = BC$、$DC = EC$である。

* $\angle ACB = \angle DCE = 60^\circ$である。

* $\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = 60^\circ + \angle BCD$

* $\angle BCE = \angle DCE + \angle BCD = 60^\circ + \angle BCD$

* よって、$\angle ACD = \angle BCE$となる。

* したがって、二辺夾角相等より、$\triangle ADC \equiv \triangle BEC$となる。

(2) $\angle BFD$の大きさを求める。

* $\triangle ADC \equiv \triangle BEC$より、$\angle DAC = \angle EBC$である。

* $\angle BFA$は$\triangle ABF$の外角なので、$\angle BFA = \angle FAB + \angle FBA$である。

* $\angle BFA = \angle FAB + \angle EBC = \angle FAB + \angle DAC$

* $\angle BFA = \angle BAC = 60^\circ$

* $\angle BFD = 180^\circ - \angle BFA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ADC \equiv \triangle BEC$ (証明は上記参照)

(2) $\angle BFD = 120^\circ$