三角形ABCにおいて、以下の問いに答えます。 (1) $a=11$, $b=7$, $c=6$のとき、$\cos B$と$S$（面積）を求めます。 (2) $a=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{6}$, $S=\sqrt{2}$のとき、$b$と$C$を求めます。ただし、三角形ABCは鈍角三角形ではないとします。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の問いに答えます。

(1) $a=11$, $b=7$, $c=6$のとき、$\cos B$と$S$（面積）を求めます。

(2) $a=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{6}$, $S=\sqrt{2}$のとき、$b$と$C$を求めます。ただし、三角形ABCは鈍角三角形ではないとします。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos B$を求め、その後、三角形の面積の公式を用いて$S$を求めます。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{11^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 11 \cdot 6} = \frac{121 + 36 - 49}{132} = \frac{108}{132} = \frac{9}{11}$

$S = \frac{1}{2}ac\sin B$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$より、$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B}$

$\sin B = \sqrt{1 - (\frac{9}{11})^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{121}} = \sqrt{\frac{40}{121}} = \frac{2\sqrt{10}}{11}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 6 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{11} = 6\sqrt{10}$

(2) 面積の公式$S = \frac{1}{2}ac\sin B$より、$\sin C$を求めます。

$S = \frac{1}{2}ac\sin B$

$\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sin C$

$\sin C = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

余弦定理より$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$\cos^2 C + \sin^2 C = 1$

$\cos C = \pm\sqrt{1-\sin^2 C}$

$\cos C = \pm\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{6}{9}} = \pm\sqrt{\frac{3}{9}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

三角形ABCは鈍角三角形ではないので、$0 < C \le \frac{\pi}{2}$となり、$cos C$は正の値を取ります。

$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{3}$

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$(\sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + b^2 - 2\sqrt{2}b\frac{\sqrt{3}}{3}$

$6 = 2 + b^2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}b$

$b^2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}b - 4 = 0$

$b = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3} \pm \sqrt{(\frac{2\sqrt{6}}{3})^2 - 4(1)(-4)}}{2}$

$b = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3} \pm \sqrt{\frac{24}{9} + 16}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3} \pm \sqrt{\frac{24+144}{9}}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3} \pm \sqrt{\frac{168}{9}}}{2}$

$b = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3} \pm \frac{\sqrt{168}}{3}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3} \pm \frac{2\sqrt{42}}{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{42}}{3}$

$b > 0$より、$b = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{42}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = \frac{9}{11}$, $S = 6\sqrt{10}$

(2) $b = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{42}}{3}$, $C = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$