四面体ABCDがあり、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ である。三角形ACDの重心をGとし、線分BGを1:2に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ で表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDがあり、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ である。三角形ACDの重心をGとし、線分BGを1:2に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形ACDの重心Gの位置ベクトル $\vec{g}$ を求める。重心は各頂点の位置ベクトルの平均なので、

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$$

次に、線分BGを1:2に内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を求める。内分点の公式より、

$$\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{g}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{g}}{3}$$

$\vec{g}$ を代入すると、

$$\vec{p} = \frac{2\vec{b} + \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{3} = \frac{6\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{9}$$

これを整理すると、

$$\vec{p} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{9}\vec{c} + \frac{1}{9}\vec{d}$$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{9}\vec{c} + \frac{1}{9}\vec{d}$

選択肢2が正解。