四面体ABCDにおいて、A, B, C, D の位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ である。三角形ACDの重心をGとし、線分BGを3:1に外分する点をPとする。$\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ で表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、A, B, C, D の位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ である。三角形ACDの重心をGとし、線分BGを3:1に外分する点をPとする。$\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ACDの重心Gの位置ベクトル $\vec{g}$ を $\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}$ で表す。

重心Gは、三角形ACDの各頂点の位置ベクトルの平均であるから、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

次に、線分BGを3:1に外分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{b}$ と $\vec{g}$ で表す。

線分をm:nに外分する点の公式より、

$\vec{p} = \frac{-n\vec{b} + m\vec{g}}{m-n}$

ここで、m=3, n=1 であるから、

$\vec{p} = \frac{-\vec{b} + 3\vec{g}}{3-1} = \frac{-\vec{b} + 3\vec{g}}{2}$

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$ を代入する。

$\vec{p} = \frac{-\vec{b} + 3(\frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3})}{2} = \frac{-\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$

選択肢4が正しい。